【正文】 統(tǒng)設(shè)計的一種重要工具。 線性二次型最優(yōu)控制(LQR)方案的設(shè)計最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標具有最優(yōu)值的一種控制。確定能否完成預(yù)定的閉環(huán)極點配置綜合目標；2)計算A的特征多項式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式(35)的個系數(shù)；3)由給定的動態(tài)指標或閉環(huán)極點要求確定閉環(huán)特征多項式(36)的個系數(shù)；4)計算矩陣；5)計算變換陣T: 計算所求的增益陣GuraBass算法不僅適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入多輸出系統(tǒng)。這里只給出具體結(jié)果，所求反饋增益矩陣： 其中：,A、B陣就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參數(shù)矩陣，是期望的極點向量。此方法較為簡單，但只適合于低階系統(tǒng)。圖31 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 極點配置算法所給定的期望閉環(huán)極點可以是實數(shù)，也可以是按共扼對出現(xiàn)的復數(shù)，它的選擇是一個工程實踐與理論相結(jié)合的問題，要從實際出發(fā)來確定極點和零點在復數(shù)平面上的分布。控制規(guī)律選擇為線性狀態(tài)反饋，即: (32)式中。就是通過對狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在所希望的位置上，從而達到期望的性能指標要求。經(jīng)典控制理論中通常用調(diào)整開環(huán)增益及引入串、并聯(lián)校正裝置來配置閉環(huán)極點?；诂F(xiàn)代控制理論的極點配置控制方案、最優(yōu)控制方案等。所設(shè)計的控制系統(tǒng)應(yīng)該盡可能簡單，容易實現(xiàn)，并有一定的抗干擾能力。第三章 直線二級倒立擺控制方案的設(shè)計前一章己經(jīng)對二級倒立擺模型做了詳盡的分析和推導，獲得了它的狀態(tài)方程形式的線性數(shù)學模型，從分析中可以看出，二級倒立擺系統(tǒng)是完全可控、完全可觀測的。還可以計算得出，根據(jù)定理1和定理2可知：系統(tǒng)是完全可控和完全可觀的。定理2(能觀性判據(jù)) 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全能觀，當且僅當系統(tǒng)的能觀性矩陣：滿秩，即特別的當輸入量為標量時，能觀性矩陣為方陣，即等價于的行列式值。定理1(能控性判據(jù)) 階線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，當且僅當系統(tǒng)的能控性矩陣：滿秩，即。由于我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點附近的性質(zhì)，因而可以根據(jù)前面得到的系統(tǒng)線性模型分析。一般擺桿豎直向上是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。本次設(shè)計由于是對直線二級倒立擺的控制系統(tǒng)的系統(tǒng)仿真，因此對其設(shè)計模型的參數(shù)的測定不做具體累述，通過直接或間接的方法設(shè)定系統(tǒng)的具體參數(shù)為：: : :: : ::11 : :: : :: : :將上述設(shè)定的具體系統(tǒng)參數(shù)帶入式（214）可得系統(tǒng)狀態(tài)方程中的各矩陣： 倒立擺系統(tǒng)的初步運動分析在研究控制方案之前，首先應(yīng)該對被控對象的特性及本質(zhì)有充分的了解。有些參數(shù)可以直接測得，如上下擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。此次設(shè)計作為仿真，為了與實際采集系統(tǒng)相符合，也為了使計算方便，做如下變換: 于是有：取狀態(tài)變量： 于是線性化后的六階狀態(tài)方程如下： （214）其中： 即,是對二級倒立擺系統(tǒng)進行狀態(tài)空間分析的數(shù)學模型基礎(chǔ)。 T為小車和各級倒立擺的總動能，V為小車和各級倒立擺的總勢能，D為小車和各級倒立擺的總耗散能。米；:控制器向功放電路的輸出的控制電壓，單位伏；:功放電路和電機的等效放大系數(shù)，即轉(zhuǎn)動力矩折合到小車上的控制力U與功放輸入電壓之比，單位牛/伏；U:電機所提供的作用于小車的控制力，其定義如下，單位牛，其方向向右為正；:擺桿轉(zhuǎn)角測量電位器的放大倍數(shù)，單位伏/弧度；:小車位移測量電位器的放大倍數(shù)，單位伏/米； 直線二級倒立擺的拉格朗日方程建模通過上述設(shè)定與分析用拉格朗日方程建立直線二級倒立擺的數(shù)學模型。秒/弧度；:下擺對其重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位千克秒/米；:下擺桿與小車之間的的等效轉(zhuǎn)動摩擦阻力系數(shù)，其定義如下:等效摩擦力矩，單位牛，擺桿沒有在與滑軌成垂直方向上的運動。，放大器和電位器是線性的。 系統(tǒng)數(shù)學建模參數(shù)的設(shè)定在推導直線二級擺系統(tǒng)的數(shù)學模型前，為了明確物理意義和推導的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè):。用拉格朗日方程可大大簡化建模過程。③ 拉格朗日方程具有很好的對稱性，即對于同一位形空間中的每個坐標而言各方程都具有相同的形式。歐拉拉格朗日原理(拉格朗日方程)則更多的把系統(tǒng)看作一個整體并利用如動能、勢能之類的純量來描述函數(shù)，它具有以下特點:① 拉格朗日方程是廣義坐標表達的任意完整系統(tǒng)的運動方程，方程的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)，因而可以獲得數(shù)目更少的運動方程。 系統(tǒng)的數(shù)學建模 兩種數(shù)學建模方法的比較倒立擺系統(tǒng)適合用數(shù)學工具進行理論推導，目前，人們對倒立擺系統(tǒng)建模一般采用兩種方法：牛頓力學分析方法、歐拉拉格朗日原理(拉格朗日方程)。豎直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(考慮摩擦力的影響)，而豎直向上的狀態(tài)是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點，開環(huán)時微小的擾動都會使系統(tǒng)離開豎直向上的狀態(tài)而進入到豎直向下的狀態(tài)中。這既是可采用單電機驅(qū)動倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復雜的原因。(2) 不確定性：主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學模型時的參數(shù)誤差、量測噪聲以及機械傳動過程中的非線性因素所導致的難以量化的部分。上擺桿下擺桿測角電位器測角電位器小 車滑 軌框 架電 機水平調(diào)節(jié)栓偽形傳送帶底 座測位電位器 21 直線二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖對直線二級倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對象，其輸入是功率放大器的輸入信號，輸出是小車的位移和擺桿的角度。機械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機，測速電機，電位器，齒型傳動皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。本章從二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過對其進行受力分析和運動描述，對比兩種建立數(shù)學模型的方法：牛頓力學分析方法、歐拉拉格朗日原理(拉格朗日方程)的優(yōu)缺點，并選定歐拉拉格朗日原理(拉格朗日方程)對系統(tǒng)進行詳細的數(shù)學建模，并進行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng)原理分析。對全文進行的一次總結(jié)，指出了此次設(shè)計的總體理論概述。本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié)，在本章首先介紹了仿真軟件MATLAB，然后介紹了本次設(shè)計所用的仿真軟件MATLAB版本：， ，最后根據(jù)已經(jīng)建立的系統(tǒng)數(shù)學模型和控制器，設(shè)定選取了一些參數(shù)，求得K值，然后用仿真軟件對極點配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（LQR）方案，一一進行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個輸出量的波形。本章介紹了極點配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（LQR）方案，并介紹了極點配置理論、極點配置算法、線性二次型最優(yōu)控制原理和Q,R陣的選擇。第三章 直線二級倒立擺控制方案的設(shè)計。第二章 直線二級倒立擺系統(tǒng)模型的建立和初步分析。第一章 緒論。 本人所做工作本文主要是以倒立擺的仿真控制裝置為平臺，分析研究了極點配置、最優(yōu)控制方案，用MATLAB和SIMULINK對控制方案進行了仿真，并實現(xiàn)了直線二級倒立擺仿真系統(tǒng)的控制。倒立擺作為一個典型的被控對象，適合用多種理論和方法進行控制。近年來，隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、擬人智能控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等越來越多的智能控制算法應(yīng)用到倒立擺動系統(tǒng)的控制上。國外對二級以上倒立擺的研究從70年代開始，1972年Sturgen等人采用線性控制模擬電路實現(xiàn)了二級倒立擺的控制，其線性狀態(tài)反饋采用極點配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)了狀態(tài)；1978年，1980年他們又完成了二級擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制；1983年。國外在60年代就開始了對一級倒立擺系統(tǒng)的研究，在60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性例證提出了倒立擺的概念，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力。正是由于對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重要的理論和實際意義，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。另一方面，任何重心在上，支點在下的控制問題，都可近似地化為一種倒立擺模型。倒立擺系統(tǒng)是一個復雜的多變量、高度非線性、強耦合和快速運動的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實踐意義。倒立擺系統(tǒng)的最初研究開始于二十世紀50年代，麻省理工學院設(shè)計出一級倒立擺實驗設(shè)備，而后世界各國都將一級倒立擺控制作為驗證某種控