【正文】 加在小車上的力 x 小車的位置 10 圖 21 直線一級倒立擺模型 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 22 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。 本章將應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型，利用分析力學(xué)方法中的 Lagrange 方程推導(dǎo)直線二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。這里面包括輸出信號的精確檢測、輸入信號的設(shè)計選取、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。 9 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。 8 第四章本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實時控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020來驗證第三章設(shè)計的 LQR控制器是否成功，借助該軟件利用計算機實現(xiàn)直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出實物系統(tǒng)穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計的控制器對實物系統(tǒng)的控制是否有效。 第三章簡單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計 LQR 控制器。具體如下： 第一章為緒論，簡單介紹倒立擺的分類、特性、控制目標(biāo)等以及倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實時控制軟 件實驗平臺，設(shè)計 LQR 控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進行了 Simulink 在線實時仿真實驗，并對實驗結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實時控制效果。一般來說，對于倒立擺起擺問題的控制方法有很多種，主要包括能量控制、擬人控制等。其中一個控制器用來實現(xiàn)倒立擺的自動起擺的功能，另一個用來控制倒立擺的穩(wěn)定。倒立擺的起擺問題指的是將擺桿從豎直向下的狀態(tài)變?yōu)樨Q直向上的狀態(tài)的過程。 7 倒立擺系統(tǒng)自動起擺 從上文的敘述來看，目前關(guān)于倒立擺的研究成果大部分主要是來自于穩(wěn)定控制的研究，相對來說對于倒立擺起擺問題研究的要少一些。之后，李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的實驗室對四級倒立擺系統(tǒng)進行了研究，再次利用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功的 實現(xiàn)了其實物的穩(wěn)定控制。李洪興教授根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的特點，將變論域自適應(yīng)控制和模糊控制相結(jié)合，提出了另一種新的理論，即“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”。 1994 年，張明廉教授在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，結(jié)合智能控制與傳統(tǒng)控制的優(yōu)點，提出了一種新的控制理論，即“擬人智能控制理論”，借助倒立擺系統(tǒng)裝置，采用 單電機驅(qū)動的控制方式，對三級倒立擺系統(tǒng)進行了實驗，成功的完成了三級倒立擺的實物控制。雖然，國外對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究已取得了一系列的成功，但在國內(nèi)，對倒立擺系統(tǒng)的研究也取得了很大的突破。 1993 年， Bouslama 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力，用簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 來學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了對倒立擺系統(tǒng)的控制。 1997 年， Gordlio 以倒立擺為實驗對象，對最優(yōu)控制 LQR 方法和基于遺傳算法的控制控制結(jié)果進行了對比分析，得出對于級數(shù)較低的倒立擺系統(tǒng)而言，傳統(tǒng)控制方法比遺傳算法控制效果好。 Deris 在傳統(tǒng) PID 控制的基礎(chǔ)上，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力來整定 PID 控制器參數(shù)。 1997 年， 等利用模糊 PID 控制器控制一級倒立擺。這些智能控制現(xiàn)已越來越廣泛的被人們應(yīng)用于倒立擺這樣復(fù)雜系統(tǒng)的控制。為了適應(yīng)控制系統(tǒng)的要求，智能控制理論得到快速發(fā)展，用智能控制理論方法控制倒立擺系統(tǒng)的研究受到越來越多學(xué)者的重視。在 Wiklund 的研究基礎(chǔ)之上，借助環(huán)形一級倒立擺穩(wěn)定控制的經(jīng)驗，對環(huán)形二級倒立擺成進行了研究，實現(xiàn)了對其穩(wěn)定控制。此外， Wiklund 等人用現(xiàn)代控制理論中的李亞普諾夫原理對環(huán)形一級倒立擺進行了控制，并取得了良好的效果。 八十年代后期，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，自動控制理論技術(shù)和計算機技術(shù)也得到了迅速的發(fā)展，人們提出了多種控制方法來解決倒立擺系統(tǒng)中的非線性特征。 Furuta 等學(xué)者研究用雙電機對倒立擺進行控制，最終成功的完成了對三級倒立擺系統(tǒng)的實物控制。 在 1980 年， ，在系統(tǒng)平衡點附近建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，成功的完成了對二級倒立擺的穩(wěn)定控制。 1970 年 等實現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。從對倒立擺的研究情況來看，大部分的研究都是基于倒立擺的穩(wěn)定控制。在近幾年的研究中，學(xué)者都嘗試著用倒立擺系統(tǒng)作為實驗裝置去檢驗新的控制方法的各種性能和控制能力，從而試圖選出最好的控制方法。之后，人們對倒立擺進行了進一步的研究，在最初的一級直線倒立擺的基礎(chǔ)上擴展出很多種類的倒立擺設(shè)備從類型上分有直線型倒立擺系列、環(huán)形倒立擺系列、平面倒立擺系列和復(fù) 合型倒立擺系列。倒立擺系統(tǒng)本身不穩(wěn)定、多變量、強耦合、非 5 線性等特點使得被學(xué)術(shù)界看做是一個典型的控制裝置進行研究。 這種被控量既有角度，又有位置，且它們之間又有關(guān)聯(lián)，具有非線性、時變、多變量耦合的性質(zhì)。 因此，倒立擺系統(tǒng)的控制原理可簡述如下：用一種強有力的控制方法對小車的速度作適當(dāng)?shù)目刂?，從而使擺桿倒置穩(wěn)定于小車正上方。當(dāng)沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置 (豎直向下 )。電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。平面倒立擺控制目的是系統(tǒng)受到干擾后，在 XY 平臺上擺桿能夠豎立穩(wěn)定而不倒，達到動態(tài)平衡狀態(tài)。直線倒立擺控制的目的是：小車和擺桿組成的直線倒立擺系統(tǒng)在受到干擾后，小車處于軌道的中心位置，擺桿將保持垂直位置不倒。 倒立擺控制目標(biāo) 倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。為降低成本和制造方便，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸及電機功率都盡量要求最 4 小，在這些限制中，其中行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。 (4) 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個，即垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。實際控制中必修通過減少各種誤差來解決問題，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，或利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定性因素。但實際可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，對線性化之后的系統(tǒng)進行控制，也可以不采用線性化處理，利用非線性控制理論直接對其進行控制，由此倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。如圖 14 所示 (4) 復(fù)合倒立擺系列 復(fù)合倒立擺為一類新型倒立擺如圖 13 所示，由運動本體和擺桿組件組成，其運動本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一種是（ 2）中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體 翻轉(zhuǎn) 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式 2 的倒立擺。如圖 12 所示。直線倒立擺系列產(chǎn)品如圖 11 所示。在此基礎(chǔ)上，人們又進行了拓展，產(chǎn)生了多種類型的倒立擺。特點是重心在上、支點在下，正是這個特點使 倒立擺是控制理論、機器人技術(shù)、計算機控制等多種技術(shù)、多個領(lǐng)域的有機結(jié)合，可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。s method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol pany linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol hightech Matlab realtime control software experimental platform, LQR controller can be designed and LQR control method can conduct online realtime simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore the balance in a very short time, and achieve very good realtime control effects. Keywords： linear inverted pendulum。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實時控制軟件實驗平臺，設(shè)計 LQR控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進行了 Simulink 在線實時仿真實驗，并對實驗結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實時控制效果。不僅是驗證現(xiàn)代控制理論方法的典型實驗裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途，因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實際應(yīng)用價值。 直線倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制器設(shè)計及仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是非線形、強耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在控制過程中能反映控制理論中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題以及跟蹤問題等。本文以固高公司直線倒立擺為研究對象，利用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型。 關(guān)鍵詞： 直線倒立擺；建模；穩(wěn)定性； LQR；仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is nonlinear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control