【正文】 度。下面來求矩陣 K， Matlab 語句為 K=lqr（ A,B,Q,R）。并對實驗結(jié)果做出了分析。說明本次設(shè)計的 LQR控制器完成了基本的要求。 展望 本文在分析前人的研究的基礎(chǔ)之上，對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，取得了一定的成果，但是由于學(xué)識和能力的限制，還有很多問題值得研究和完善，主要包括以下 兩個方面： (1) 本文所建立的倒立擺系統(tǒng)模型是在忽略 了一些因素的影響下建立起來的理想模型，并進(jìn)行了線性化。 0 0 0 1。 D=[0。 0 0 0]。 0 0 0 0。 T=0::5。 Nu=N(1+s)。hold on。hold on。PendAng39。在日常學(xué)習(xí)和生活中，和我在同一個實驗室學(xué)習(xí)和工作的其他同學(xué)也給予了我很多幫助，他們在我的論文工作中提出了許多寶貴的意見并給予了全力的支持。PendSpd39。39。.39。 %Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)。 Cn=[1 0 0 0]。 0 0 0 0]。 C=[ 1 0 0 0。 cona=[B A*B A^2*B A^3*B]。 B=[0。所以對倒立擺系統(tǒng)的研究還將繼續(xù)深入，將其各種可能的影響都考慮進(jìn)來。 30 第五章 結(jié)論與展望 結(jié)論 倒立擺是典型的重心在上、支點在下的非線性、不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，因此 倒立擺控制系統(tǒng)很適合作為控制理論的檢驗裝置，在控制理論研究方面發(fā)揮著相當(dāng)重要的作用，值得大力推廣。下面是建立的直線一級倒立擺 LQR 實時控制模塊， 圖 41 一級倒立擺實物控制程序塊 其中“ LQR Controller”為 LQR 控制器模塊，“ Real Control”為實時控制模塊，可以將 “ Real Control”模塊打開 LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口，將第三章仿真的結(jié)果填入下表，進(jìn)行 實物控制 圖 42 一級倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 25 經(jīng)過實物檢驗后發(fā)現(xiàn)，這一組數(shù)據(jù)不能順利控制住一級倒立擺，估計倒立擺滑軌摩擦因素導(dǎo)致的，經(jīng)過調(diào)試得到下面的一組數(shù)據(jù)可以很好的控制一級倒立擺裝置。 在 Simulink 中建立直線一級倒立擺的模型如下圖所示： 21 圖 34 Simulink中直線一級倒立擺的模型 “ LQR Controller”為一封裝好的模塊，單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“ Look under mask”打開其結(jié)構(gòu)如下： 圖 35 LQR Controller 內(nèi)部結(jié)構(gòu) 雙擊“ Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù)： 圖 36 LQR參數(shù)設(shè)置框 22 其中雙擊 Linear1Stage 模塊可以將前面已經(jīng)建立起來的系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入進(jìn) 去，如下圖所示： 圖 37 直線一級倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入框 在全部數(shù)據(jù)輸入完畢后，再點擊 執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果： 圖 38 當(dāng) 1,1 3,31,1 ?? Simulink仿真結(jié)果圖 LQR 控制的階躍響應(yīng)如上圖所示， 其中黃色曲線為小車的位置曲線， 紫 23 色為小車的速度曲線，紅色為擺桿角度曲線，青綠色為擺桿角速度曲線，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時間和上升時間。 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)（四個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。 )(*)( txKtu ?? （ 32） 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值： dtRuuQXXJ ?? ?? 0 ** )( （ 33） 式中 Q正定（或正半定）厄米特或?qū)崒ΨQ陣 R為正定厄米特或?qū)崒ΨQ陣 圖 31 最優(yōu)控制 LQR控制原理圖 方程右端第二項是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣 Q 和 R 確定了誤差和能量損耗的相對重要性。 Uc=ctrb(A,B)。 （ 2） 狀態(tài)的能觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由系統(tǒng)的輸出反應(yīng)出來。能空性和能觀性正是分別分析 u（ t）對狀態(tài) x（ t）的控制能力以及 y（ t）對狀態(tài) x（ t）的反應(yīng)能力。 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義 如 圖 22 示方向。這里面包括輸出信號的精確檢測、輸入信號的設(shè)計選取、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。具體如下： 第一章為緒論，簡單介紹倒立擺的分類、特性、控制目標(biāo)等以及倒立擺系統(tǒng)發(fā)展及研究現(xiàn)狀。倒立擺的起擺問題指的是將擺桿從豎直向下的狀態(tài)變?yōu)樨Q直向上的狀態(tài)的過程。 1994 年，張明廉教授在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，結(jié)合智能控制與傳統(tǒng)控制的優(yōu)點，提出了一種新的控制理論，即“擬人智能控制理論”，借助倒立擺系統(tǒng)裝置，采用 單電機(jī)驅(qū)動的控制方式，對三級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了實驗，成功的完成了三級倒立擺的實物控制。 Deris 在傳統(tǒng) PID 控制的基礎(chǔ)上，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力來整定 PID 控制器參數(shù)。在 Wiklund 的研究基礎(chǔ)之上，借助環(huán)形一級倒立擺穩(wěn)定控制的經(jīng)驗，對環(huán)形二級倒立擺成進(jìn)行了研究，實現(xiàn)了對其穩(wěn)定控制。 在 1980 年， ，在系統(tǒng)平衡點附近建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，成功的完成了對二級倒立擺的穩(wěn)定控制。之后，人們對倒立擺進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，在最初的一級直線倒立擺的基礎(chǔ)上擴(kuò)展出很多種類的倒立擺設(shè)備從類型上分有直線型倒立擺系列、環(huán)形倒立擺系列、平面倒立擺系列和復(fù) 合型倒立擺系列。當(dāng)沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置 (豎直向下 )。 倒立擺控制目標(biāo) 倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。但實際可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，對線性化之后的系統(tǒng)進(jìn)行控制，也可以不采用線性化處理，利用非線性控制理論直接對其進(jìn)行控制，由此倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。直線倒立擺系列產(chǎn)品如圖 11 所示。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實時控制軟件實驗平臺，設(shè)計 LQR控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實時仿真實驗，并對實驗結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實時控制效果。本文以固高公司直線倒立擺為研究對象，利用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型。典型的有直線倒立擺，平面倒立擺，環(huán)形倒立擺和復(fù)合倒立擺等， 倒立擺系統(tǒng)是在運動模塊上裝有倒立擺裝置，正由于在相同的運動模塊上可以配置不同的倒立擺，所以倒立擺的種類豐富 許多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)來分，有以下類型的倒立擺： (1) 直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運動模塊上有擺體組件，直線運動模塊具有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導(dǎo)軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。 (1) 非線性 倒立擺雖 是一個典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)。 倒立擺的以上特性增加了倒立擺的控制難度，也正是由于倒立擺的這些特性，使其更具研究 價值和意義。作用力平行于軌道的方向作用于小車，使小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平導(dǎo)軌運動。在二十世紀(jì)五十年代，美國麻省理工學(xué)院的控制理論專家就開始了對倒立擺系統(tǒng)的研究、設(shè)計了一級倒立擺實驗裝置，該裝置的原理與火箭助推器原理相一致。 1976 年Mori 等首次提出將倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近線性化，得到倒立擺系統(tǒng)近似的線性狀態(tài)方程，利用狀態(tài)空間法建立了控制倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制器。 Yamakita 等人。 1995 年， Li 基于一級倒立擺系統(tǒng)有 2 個變量需要進(jìn)行控制，設(shè)想了用兩個并行的模糊滑模來分 別對小車和擺桿偏角進(jìn)行控制，并取得良好的效果。 1996 年清華大學(xué)張乃堯等利用雙閉環(huán)模糊控制方案成功的實現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制，解決了模糊控制規(guī)則爆炸問題，對其他串級控制具有很大的參考價值。在靜止?fàn)顟B(tài)下，由于重力的作用，倒立擺處于豎直向下的狀態(tài)。 本文圍繞直線一級倒立擺的動力學(xué)建模、控制算法設(shè)計、仿真和實驗等一系列工作展開。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并 通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入 — 輸出關(guān)系。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 狀態(tài)方程描述了輸入 u（ t）引起狀態(tài) x（ t）的變化過程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變化引起的輸出 y（ t）的變化。 系統(tǒng)的輸出可控性的條件為：當(dāng)且僅當(dāng) ]:1:...:::[ 2 DBCABCAC A BCB n ?的秩等 于輸出向量 y 的維數(shù)。 rank(cona) rank(cona2) 或可以利用計算能控性矩陣的 ctrb命令和計算能觀性的矩陣 obsv命令來計算。 18 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR控制器設(shè)計與仿真 線性二次最優(yōu)控制 LQR基本原理及分析 線性二次控制的 LQR 基本原理為， 由系統(tǒng)方程： BuAXX ??? （ 31） 確定下列最佳控制向量的矩陣 K。設(shè)計控制器使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達(dá)新的指定位置。 在 Matlab 中編程計算 : 令 1,1 3,31,1 ?? 求得 K=[1 ] 得到仿真結(jié)果如下： 20 圖 32 當(dāng) 1,1 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從圖中可以看出，小車的位置、小車的加速度和擺桿角度、擺桿角速度達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)，所以需調(diào)整 Q 的參數(shù)，令 200,1000 3,31,1 ?? 求得 K=[ ] 可得仿真圖： 圖 33 200,1000 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從仿真圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可 以在 2s 左右同時達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，可以看出達(dá)到了穩(wěn)定效果。 24 第四章 直線倒立擺的實物穩(wěn)定控制 直線一級倒立擺 LQR實物穩(wěn)定控制 本次倒立擺實時控制是基于固高倒立擺 Matlab Simulink 實時控制系統(tǒng)上進(jìn)行的。 29 本章小結(jié) 本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實時控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020 來驗證第三章設(shè)計的 LQR 控制器是否成功，并借助該軟件利用計算機(jī)實現(xiàn)直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出實物系統(tǒng)穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計的控制器對實物系統(tǒng)的 控制是否有效。在實際中必修考慮到這些現(xiàn)實的因素，在用這些控制方法對倒立擺進(jìn)行控制，難度將大大的提高，甚至不可行。 0 0 0 ]。0]。 B=[ 0 1 0 3]39。 0 0 Q33 0。 U=*ones(size(T))。 Nbar=Nu+K*Nx。 plot(T,X(:,2),39。 plot(T,X(:,4),39。,39。 在此，向所有關(guān)心和幫助過我的老師、同學(xué)和朋友表示由衷的謝意 !