【正文】 ,39。 plot(T,X(:,2),39。 U=*ones(size(T))。 B=[ 0 1 0 3]39。 0 0 0 ]。 29 本章小結(jié) 本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實時控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020 來驗證第三章設(shè)計的 LQR 控制器是否成功，并借助該軟件利用計算機實現(xiàn)直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出實物系統(tǒng)穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計的控制器對實物系統(tǒng)的 控制是否有效。 在 Matlab 中編程計算 : 令 1,1 3,31,1 ?? 求得 K=[1 ] 得到仿真結(jié)果如下： 20 圖 32 當 1,1 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從圖中可以看出，小車的位置、小車的加速度和擺桿角度、擺桿角速度達不到穩(wěn)定狀態(tài)，所以需調(diào)整 Q 的參數(shù)，令 200,1000 3,31,1 ?? 求得 K=[ ] 可得仿真圖： 圖 33 200,1000 3,31,1 ?? 仿真結(jié)果圖 從仿真圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可 以在 2s 左右同時達到穩(wěn)定狀態(tài)，可以看出達到了穩(wěn)定效果。 18 第三章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR控制器設(shè)計與仿真 線性二次最優(yōu)控制 LQR基本原理及分析 線性二次控制的 LQR 基本原理為， 由系統(tǒng)方程： BuAXX ??? （ 31） 確定下列最佳控制向量的矩陣 K。 系統(tǒng)的輸出可控性的條件為：當且僅當 ]:1:...:::[ 2 DBCABCAC A BCB n ?的秩等 于輸出向量 y 的維數(shù)。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 本文圍繞直線一級倒立擺的動力學(xué)建模、控制算法設(shè)計、仿真和實驗等一系列工作展開。 1996 年清華大學(xué)張乃堯等利用雙閉環(huán)模糊控制方案成功的實現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制，解決了模糊控制規(guī)則爆炸問題，對其他串級控制具有很大的參考價值。 Yamakita 等人。在二十世紀五十年代，美國麻省理工學(xué)院的控制理論專家就開始了對倒立擺系統(tǒng)的研究、設(shè)計了一級倒立擺實驗裝置，該裝置的原理與火箭助推器原理相一致。 倒立擺的以上特性增加了倒立擺的控制難度，也正是由于倒立擺的這些特性，使其更具研究 價值和意義。典型的有直線倒立擺，平面倒立擺，環(huán)形倒立擺和復(fù)合倒立擺等， 倒立擺系統(tǒng)是在運動模塊上裝有倒立擺裝置，正由于在相同的運動模塊上可以配置不同的倒立擺，所以倒立擺的種類豐富 許多，按倒立擺的結(jié)構(gòu)來分，有以下類型的倒立擺： (1) 直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運動模塊上有擺體組件，直線運動模塊具有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導(dǎo)軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實時控制軟件實驗平臺，設(shè)計 LQR控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進行了 Simulink 在線實時仿真實驗，并對實驗結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實時控制效果。但實際可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，對線性化之后的系統(tǒng)進行控制，也可以不采用線性化處理，利用非線性控制理論直接對其進行控制，由此倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。當沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置 (豎直向下 )。 在 1980 年， ，在系統(tǒng)平衡點附近建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，成功的完成了對二級倒立擺的穩(wěn)定控制。 Deris 在傳統(tǒng) PID 控制的基礎(chǔ)上，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習能力來整定 PID 控制器參數(shù)。倒立擺的起擺問題指的是將擺桿從豎直向下的狀態(tài)變?yōu)樨Q直向上的狀態(tài)的過程。這里面包括輸出信號的精確檢測、輸入信號的設(shè)計選取、數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。能空性和能觀性正是分別分析 u（ t）對狀態(tài) x（ t）的控制能力以及 y（ t）對狀態(tài) x（ t）的反應(yīng)能力。 Uc=ctrb(A,B)。 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)（四個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。下面是建立的直線一級倒立擺 LQR 實時控制模塊， 圖 41 一級倒立擺實物控制程序塊 其中“ LQR Controller”為 LQR 控制器模塊，“ Real Control”為實時控制模塊，可以將 “ Real Control”模塊打開 LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口，將第三章仿真的結(jié)果填入下表，進行 實物控制 圖 42 一級倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 25 經(jīng)過實物檢驗后發(fā)現(xiàn)，這一組數(shù)據(jù)不能順利控制住一級倒立擺，估計倒立擺滑軌摩擦因素導(dǎo)致的，經(jīng)過調(diào)試得到下面的一組數(shù)據(jù)可以很好的控制一級倒立擺裝置。所以對倒立擺系統(tǒng)的研究還將繼續(xù)深入，將其各種可能的影響都考慮進來。 cona=[B A*B A^2*B A^3*B]。 0 0 0 0]。 %Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)。39。在日常學(xué)習和生活中，和我在同一個實驗室學(xué)習和工作的其他同學(xué)也給予了我很多幫助，他們在我的論文工作中提出了許多寶貴的意見并給予了全力的支持。hold on。 Nu=N(1+s)。 0 0 0 0。 D=[0。 展望 本文在分析前人的研究的基礎(chǔ)之上，對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了研究，取得了一定的成果，但是由于學(xué)識和能力的限制，還有很多問題值得研究和完善，主要包括以下 兩個方面： (1) 本文所建立的倒立擺系統(tǒng)模型是在忽略 了一些因素的影響下建立起來的理想模型，并進行了線性化。并對實驗結(jié)果做出了分析。 前面已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程（ 228）： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? 應(yīng)用線性反饋控制器，小車的輸入信號是階躍信號，四個狀態(tài)量 ?? ?? ,xx 分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出 ],[ ?? ?xy 包括小車位置和擺桿角度。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B]。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，必修研究這個系統(tǒng)的能空性和能觀性。 9 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。 7 倒立擺系統(tǒng)自動起擺 從上文的敘述來看，目前關(guān)于倒立擺的研究成果大部分主要是來自于穩(wěn)定控制的研究，相對來說對于倒立擺起擺問題研究的要少一些。 1997 年， 等利用模糊 PID 控制器控制一級倒立擺。 1970 年 等實現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。不僅是驗證現(xiàn)代控制理論方法的典型實驗裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途，因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實際應(yīng)用價值。 (2) 環(huán)形倒立擺系列 環(huán)形倒立擺是在圓周運動模塊上裝有擺體組件，圓周運動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運 動，在運動手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制理論也得到了進一步的發(fā)展， 20 世紀中后期出現(xiàn)了很多新的控制方法。 隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展和進步，被控對象也越來越復(fù)雜，因而對控制性能有了更高的要求，在高科技迅猛發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的控制理論表現(xiàn)出越來越 6 多的局限性，其發(fā)展將面臨更 多新的挑戰(zhàn)。這一實踐的成功，完美的解決了三級倒立擺這一控制界的難題，將倒立擺的控制推向了一個嶄新的階段。 第二章應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué) 模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運動方程，求出直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進行分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。 圖 22 矢量正方向 根據(jù) 小車水平方向受的合力，可以列出以下方程： NxbFxM ??? ? （ 21） F P N F x x? xb? P ? mg N X F ? 擺桿 l 11 根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直向上的合力進行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） ???? c o ss in 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os, ??????? ??????故等式前面有負號。 如果對初始時刻 0t 的任意初始狀態(tài) )(0tx ，在有限觀測時間 0ttf ? ，能夠根據(jù)輸出 y（ t）在 ],[ 0 ftt 內(nèi)的測量值，唯一的確定系統(tǒng)在 0t 時刻的初始狀態(tài) )(0tx ，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)時完全能觀測的，或簡稱 系統(tǒng)是能觀測的。并且假設(shè)控制向量 u(t)是無約束的。 可以發(fā)現(xiàn)， Q 矩陣中，增加 1,1Q 使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。 利用目前流行的硬件在回路仿真技術(shù)，使用 MATLAB 直接實時控制倒立擺系統(tǒng)，并且在線調(diào)整參數(shù)，將使該實驗系統(tǒng)具備更高效率，更好的效果，更廣泛的適用性。1。 0 0 1 0]。