【正文】 ”。 7 倒立擺系統(tǒng)自動(dòng)起擺 從上文的敘述來(lái)看，目前關(guān)于倒立擺的研究成果大部分主要是來(lái)自于穩(wěn)定控制的研究，相對(duì)來(lái)說(shuō)對(duì)于倒立擺起擺問題研究的要少一些。其中一個(gè)控制器用來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺的自動(dòng)起擺的功能，另一個(gè)用來(lái)控制倒立擺的穩(wěn)定。先對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實(shí)時(shí)控制軟 件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì) LQR 控制器，并利用 LQR 控制方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過(guò)在線對(duì)系統(tǒng)施加一定的擾動(dòng)，系統(tǒng)均能在很短的時(shí)間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實(shí)時(shí)控制效果。 第三章簡(jiǎn)單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計(jì) LQR 控制器。 9 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。 我們不妨做如下表 21 假設(shè)： 表 21 直線一級(jí)倒立擺相關(guān)假設(shè)量 字母 代表的對(duì)象 M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車的位置 10 圖 21 直線一級(jí)倒立擺模型 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 22 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss in)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 設(shè) ??? ?? （ 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 ? 1，即可以進(jìn)行近似處理： 0)(,s in,1c o s 2 ???? dtd ???? 。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，必修研究這個(gè)系統(tǒng)的能空性和能觀性。 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )()()()()( tutBtxtAtx ??? 式中， x（ t） —— n 維狀態(tài)向量 u（ t） —— r 維輸入向量 A（ t） —— n*n 系統(tǒng)矩陣 B（ t） —— n*r 輸入矩陣 （ 1）狀態(tài)的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制狀態(tài)的變化。 對(duì)于此倒立擺經(jīng)過(guò)上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1,......, ?是線性無(wú)關(guān) 16 的，或 n*n 維矩陣 ]:...::[ 1 BAABB n?的秩為 n。 對(duì)于此倒立擺經(jīng)過(guò)上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的條件為：當(dāng)且僅當(dāng) n*m 維矩陣的 ]。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B]。 rank(Uc) rank(Vo) 可以得到： ans = 4 ans = 2 可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量 y 的維數(shù)，所以系統(tǒng)能控。利用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的參數(shù)矩陣，并進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性進(jìn)行分析。 對(duì)線性系統(tǒng)： ??? ? ??CXY BuAXX? （ 34） 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R，利用 Matlab 命令 lqr 就可以得到反饋矩陣K 的值。 前面已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程（ 228）： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? 應(yīng)用線性反饋控制器，小車的輸入信號(hào)是階躍信號(hào)，四個(gè)狀態(tài)量 ?? ?? ,xx 分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出 ],[ ?? ?xy 包括小車位置和擺桿角度。 lqr 函數(shù)允許你選擇兩個(gè)參數(shù) —— R 和 Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。下面來(lái)求矩陣 K， Matlab 語(yǔ)句為 K=lqr（ A,B,Q,R）。這里取 1,1Q =1000， 3,3Q =200, 則 K=[ ] 輸入?yún)?shù)，運(yùn)行得到響應(yīng)曲線如下： 圖 39 當(dāng) 200,1000 3,31,1 ?? Simulink仿真結(jié)果圖 從 Simulink 圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可以在 2s 左右同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定 狀態(tài)，可以看出達(dá)到了穩(wěn)定效果。并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出了分析。 將“ Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 圖 46 “ Pendulum”模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu) 其中“ Set Cart’s Acc and Vel”模塊的作用是設(shè)置小車運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，“ Get Cart’s Position”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實(shí)際位置，“ Get Pend’s Angle”的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實(shí)際角度。說(shuō)明本次設(shè)計(jì)的 LQR控制器完成了基本的要求。不僅僅在倒立擺這類運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中可以發(fā)揮重要作用，而且也可以應(yīng)用在諸如過(guò)程控制等控制系統(tǒng) 中，因此其研究及實(shí)現(xiàn)具有非常重要的意義和廣闊 的應(yīng)用前景。 展望 本文在分析前人的研究的基礎(chǔ)之上，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，取得了一定的成果，但是由于學(xué)識(shí)和能力的限制，還有很多問題值得研究和完善，主要包括以下 兩個(gè)方面： (1) 本文所建立的倒立擺系統(tǒng)模型是在忽略 了一些因素的影響下建立起來(lái)的理想模型，并進(jìn)行了線性化。 (3) 通過(guò)本文研究的一級(jí)倒立擺，為自己的倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定奠定了一些基礎(chǔ)，可以延伸二級(jí)、三級(jí)或是四級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制研究。 0 0 0 1。0。 D=[0。 rank(cona) rank(cona2) 一級(jí)倒立擺 LQR 控制器設(shè)計(jì)程序 clear。 0 0 0]。 D=[ 0 0 ]39。 0 0 0 0。 K = lqr(A,B,Q,R) Ac = [(AB*K)]。 T=0::5。 Z=[zeros([1,s]) 1]。 Nu=N(1+s)。 [Y,X]=lsim(Ac,B,Cc,Dc,U,T)。hold on。hold on。hold on。CartPos39。PendAng39。在這半年里楊老師不僅在學(xué)習(xí)上更在生活上給予了我極大的支持和關(guān)心，在為人處世上也給予了我諄諄的教導(dǎo)。在日常學(xué)習(xí)和生活中，和我在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室學(xué)習(xí)和工作的其他同學(xué)也給予了我很多幫助，他們?cè)谖业恼撐墓ぷ髦刑岢隽嗽S多寶貴的意見并給予了全力的支持。 我還要感謝自動(dòng)化教研室全體老師，在這過(guò)去的幾年時(shí)間里，老師們細(xì)心的傳授我們自動(dòng)化專業(yè)的基本知識(shí)，并在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)一步一步教導(dǎo)我們，將書本知識(shí)得到進(jìn)一步的理解與鞏固。PendSpd39。CartSpd39。39。.39。.39。39。 %Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K)。Cn,0])*Z39。 Cn=[1 0 0 0]。 Cc = [C]。 0 0 0 0]。 Q33=200。 C=[ 1 0 0 0。 0 0 0 0。 cona=[B A*B A^2*B A^3*B]。 C=[1 0 0 0。 B=[0。 A=[ 0 1 0 0。所以對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究還將繼續(xù)深入，將其各種可能的影響都考慮進(jìn)來(lái)。并以直線一級(jí)倒立擺為被控對(duì)象，設(shè)計(jì)了一個(gè)二次型最優(yōu)控制器 (LQR)。 30 第五章 結(jié)論與展望 結(jié)論 倒立擺是典型的重心在上、支點(diǎn)在下的非線性、不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，因此 倒立擺控制系統(tǒng)很適合作為控制理論的檢驗(yàn)裝置，在控制理論研究方面發(fā)揮著相當(dāng)重要的作用，值得大力推廣。 下面是實(shí)驗(yàn)運(yùn)行的結(jié)果： 圖 47一級(jí)倒立擺實(shí)物控制位置和角度波形圖 圖 48 一級(jí)倒立擺控制實(shí)物圖 28 其中圖 47 上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度變化曲線，于是我們通過(guò)實(shí)物控制輸出的位置和角度圖可以看出，擺桿一直處于自動(dòng)調(diào)整保持為豎直的狀態(tài)，角度有點(diǎn)細(xì)微的變化，但一直保持在動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)下。下面是建立的直線一級(jí)倒立擺 LQR 實(shí)時(shí)控制模塊， 圖 41 一級(jí)倒立擺實(shí)物控制程序塊 其中“ LQR Controller”為 LQR 控制器模塊，“ Real Control”為實(shí)時(shí)控制模塊，可以將 “ Real Control”模塊打開 LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口，將第三章仿真的結(jié)果填入下表，進(jìn)行 實(shí)物控制 圖 42 一級(jí)倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 25 經(jīng)過(guò)實(shí)物檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，這一組數(shù)據(jù)不能順利控制住一級(jí)倒立擺，估計(jì)倒立擺滑軌摩擦因素導(dǎo)致的，經(jīng)過(guò)調(diào)試得到下面的一組數(shù)據(jù)可以很好的控制一級(jí)倒立擺裝置。 本章小結(jié) 本章主要是簡(jiǎn)單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計(jì) LQR 控制器。 在 Simulink 中建立直線一級(jí)倒立擺的模型如下圖所示： 21 圖 34 Simulink中直線一級(jí)倒立擺的模型 “ LQR Controller”為一封裝好的模塊，單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“ Look under mask”打開其結(jié)構(gòu)如下： 圖 35 LQR Controller 內(nèi)部結(jié)構(gòu) 雙擊“ Matrix gain K”即可輸入控制參數(shù)： 圖 36 LQR參數(shù)設(shè)置框 22 其中雙擊 Linear1Stage 模塊可以將前面已經(jīng)建立起來(lái)的系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入進(jìn) 去，如下圖所示： 圖 37 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)方程輸入框 在全部數(shù)據(jù)輸入完畢后，再點(diǎn)擊 執(zhí)行仿真，得到如下仿真結(jié)果： 圖 38 當(dāng) 1,1 3,31,1 ?? Simulink仿真結(jié)果圖 LQR 控制的階躍響應(yīng)如上圖所示， 其中黃色曲線為小車的位置曲線， 紫 23 色為小車的速度曲線，紅色為擺桿角度曲線，青綠色為擺桿角速度曲線，從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，我們可以通過(guò)增大控制量來(lái)縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間。當(dāng)然，也可以通過(guò)改變 Q 矩陣中的非零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制器來(lái)得到期望的響應(yīng)。 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)（四個(gè)狀態(tài)量都可測(cè)），找出確定反饋控制規(guī)律的向量 K 。但是 Q 不能過(guò)大。 )(*)( txKtu ?? （ 32） 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值： dtRuuQXXJ ?? ?? 0 ** )( （ 3