【正文】 制系統(tǒng)研究 [J].自動化技術(shù)與應(yīng)用 , [25] 桑英軍，范媛媛，徐才千．單極倒立擺控制方法研究 [J]．控制工程， [26] 徐國林 ,楊世勇 .單級倒立擺系統(tǒng)的仿真研究 [J].四川大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ), [27] 李國輝．基于 Simulink的單級倒立擺仿真對比 [J]．大連交通大學(xué)學(xué)報 ,2020. 2 [28] 張立迎 .直線二級倒立擺穩(wěn)定控制研究 [D].山東大學(xué) ,2020 34 致 謝 在此，我首先要衷心地感謝我的導(dǎo)師楊國亮老師，本文的研究工作從選題到最后完成都受到了他的精心指導(dǎo)和悉心關(guān)懷，給我提出了許多極具價值的建議。) legend(39。)。 B=[Nbar*B]。 32 s=size(A,1)。 R = 1。 0 0 1 0]。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B D]。1。 (2) 可以嘗試在 Windows 操作系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，搭建倒立擺系統(tǒng)的控制平臺上，如用 VC++開發(fā)一個人機(jī)控制界面，通過界面的操作，實(shí)現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置、控制操作等。 利用目前流行的硬件在回路仿真技術(shù)，使用 MATLAB 直接實(shí)時控制倒立擺系統(tǒng)，并且在線調(diào)整參數(shù)，將使該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)具備更高效率，更好的效果，更廣泛的適用性。 圖 43 一級倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 在“ LQR Controller”模塊上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇“ Look under mask”打開模型如下： 圖 44 LQR 控制器內(nèi)部結(jié)構(gòu) 將“ Real Control”模塊打開實(shí)時控制模塊如下圖： 26 圖 45 實(shí)時控制模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu) 其中“ Pendulum”模塊 為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車的速度“ Vel”和“ Acc”，輸出為小車的位置“ Pos”和擺桿的角度“ Angle”。 可以發(fā)現(xiàn)， Q 矩陣中，增加 1,1Q 使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。在 Matlab 中得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的 K。并且假設(shè)控制向量 u(t)是無約束的。 17 Vo=obsv(A,C)。 如果對初始時刻 0t 的任意初始狀態(tài) )(0tx ，在有限觀測時間 0ttf ? ，能夠根據(jù)輸出 y（ t）在 ],[ 0 ftt 內(nèi)的測量值，唯一的確定系統(tǒng)在 0t 時刻的初始狀態(tài) )(0tx ，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)時完全能觀測的，或簡稱 系統(tǒng)是能觀測的。顯然，這兩個概念是與狀態(tài)空 間表達(dá)式對系統(tǒng)分段內(nèi)部描述相對應(yīng)的。 圖 22 矢量正方向 根據(jù) 小車水平方向受的合力，可以列出以下方程： NxbFxM ??? ? （ 21） F P N F x x? xb? P ? mg N X F ? 擺桿 l 11 根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程，我們對擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） ???? c o ss in 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os, ??????? ??????故等式前面有負(fù)號。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入 — 狀態(tài)關(guān)系。 第二章應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué) 模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運(yùn)動方程，求出直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進(jìn)一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進(jìn)行分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。對于倒立擺起擺問題的研究最早是在 1976 年， Mori 等人使用了兩個控制器 的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對倒立擺控制。這一實(shí)踐的成功，完美的解決了三級倒立擺這一控制界的難題，將倒立擺的控制推向了一個嶄新的階段。用一種全新的概念進(jìn)行信息處理，克服了 PID 參數(shù)整定的盲目性。 隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展和進(jìn)步，被控對象也越來越復(fù)雜，因而對控制性能有了更高的要求，在高科技迅猛發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的控制理論表現(xiàn)出越來越 6 多的局限性，其發(fā)展將面臨更 多新的挑戰(zhàn)。 1984 年，對倒立擺系統(tǒng)的研究取得了突破 性的成果。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制理論也得到了進(jìn)一步的發(fā)展， 20 世紀(jì)中后期出現(xiàn)了很多新的控制方法。為了使擺桿擺動或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其 在軌道上被往前或朝后拉動。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動而保持穩(wěn)定的位置。 (2) 不確定性 造成不確定性的因素主要是指模型誤差、機(jī)械傳動間隙和各種阻力等。 (2) 環(huán)形倒立擺系列 環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動模塊上裝有擺體組件，圓周運(yùn)動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運(yùn) 動，在運(yùn)動手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。 關(guān)鍵詞： 直線倒立擺；建模；穩(wěn)定性； LQR；仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is nonlinear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol pany linear inverted pendulum, Newton39。不僅是驗(yàn)證現(xiàn)代控制理論方法的典型實(shí)驗(yàn)裝置，而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途，因此對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實(shí)際應(yīng)用價值。在此基礎(chǔ)上，人們又進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了多種類型的倒立擺。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。為降低成本和制造方便，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸及電機(jī)功率都盡量要求最 4 小，在這些限制中，其中行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。電機(jī)通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運(yùn)動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。倒立擺系統(tǒng)本身不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合、非 5 線性等特點(diǎn)使得被學(xué)術(shù)界看做是一個典型的控制裝置進(jìn)行研究。 1970 年 等實(shí)現(xiàn)了對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。此外， Wiklund 等人用現(xiàn)代控制理論中的李亞普諾夫原理對環(huán)形一級倒立擺進(jìn)行了控制，并取得了良好的效果。 1997 年， 等利用模糊 PID 控制器控制一級倒立擺。雖然，國外對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究已取得了一系列的成功，但在國內(nèi)，對倒立擺系統(tǒng)的研究也取得了很大的突破。 7 倒立擺系統(tǒng)自動起擺 從上文的敘述來看，目前關(guān)于倒立擺的研究成果大部分主要是來自于穩(wěn)定控制的研究，相對來說對于倒立擺起擺問題研究的要少一些。先對系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實(shí)時控制軟 件實(shí)驗(yàn)平臺，設(shè)計 LQR 控制器，并利用 LQR 控制方法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實(shí)時仿真實(shí)驗(yàn)，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過在線對系統(tǒng)施加一定的擾動，系統(tǒng)均能在很短的時間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實(shí)時控制效果。 9 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。 我們不妨做如下表 21 假設(shè)： 表 21 直線一級倒立擺相關(guān)假設(shè)量 字母 代表的對象 M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車的位置 10 圖 21 直線一級倒立擺模型 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 22 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，必修研究這個系統(tǒng)的能空性和能觀性。 對于此倒立擺經(jīng)過上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1,......, ?是線性無關(guān) 16 的，或 n*n 維矩陣 ]:...::[ 1 BAABB n?的秩為 n。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B]。利用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的參數(shù)矩陣，并進(jìn)一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性進(jìn)行分析。 前面已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程（ 228）： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? 應(yīng)用線性反饋控制器，小車的輸入信號是階躍信號，四個狀態(tài)量 ?? ?? ,xx 分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出 ],[ ?? ?xy 包括小車位置和擺桿角