【正文】 制系統(tǒng)研究 [J].自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用 , [25] 桑英軍，范媛媛，徐才千．單極倒立擺控制方法研究 [J]．控制工程， [26] 徐國(guó)林 ,楊世勇 .單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真研究 [J].四川大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ), [27] 李國(guó)輝．基于 Simulink的單級(jí)倒立擺仿真對(duì)比 [J]．大連交通大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020. 2 [28] 張立迎 .直線二級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制研究 [D].山東大學(xué) ,2020 34 致 謝 在此，我首先要衷心地感謝我的導(dǎo)師楊國(guó)亮老師，本文的研究工作從選題到最后完成都受到了他的精心指導(dǎo)和悉心關(guān)懷，給我提出了許多極具價(jià)值的建議。) legend(39。)。 B=[Nbar*B]。 32 s=size(A,1)。 R = 1。 0 0 1 0]。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B D]。1。 (2) 可以嘗試在 Windows 操作系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，搭建倒立擺系統(tǒng)的控制平臺(tái)上，如用 VC++開(kāi)發(fā)一個(gè)人機(jī)控制界面，通過(guò)界面的操作，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置、控制操作等。 利用目前流行的硬件在回路仿真技術(shù)，使用 MATLAB 直接實(shí)時(shí)控制倒立擺系統(tǒng)，并且在線調(diào)整參數(shù)，將使該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)具備更高效率，更好的效果，更廣泛的適用性。 圖 43 一級(jí)倒立擺 LQR控制參數(shù)設(shè)置框 在“ LQR Controller”模塊上點(diǎn)擊鼠標(biāo)右鍵選擇“ Look under mask”打開(kāi)模型如下： 圖 44 LQR 控制器內(nèi)部結(jié)構(gòu) 將“ Real Control”模塊打開(kāi)實(shí)時(shí)控制模塊如下圖： 26 圖 45 實(shí)時(shí)控制模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu) 其中“ Pendulum”模塊 為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊，輸入為小車的速度“ Vel”和“ Acc”，輸出為小車的位置“ Pos”和擺桿的角度“ Angle”。 可以發(fā)現(xiàn)， Q 矩陣中，增加 1,1Q 使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短，并且使擺桿的角度變化減小。在 Matlab 中得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的 K。并且假設(shè)控制向量 u(t)是無(wú)約束的。 17 Vo=obsv(A,C)。 如果對(duì)初始時(shí)刻 0t 的任意初始狀態(tài) )(0tx ，在有限觀測(cè)時(shí)間 0ttf ? ，能夠根據(jù)輸出 y（ t）在 ],[ 0 ftt 內(nèi)的測(cè)量值，唯一的確定系統(tǒng)在 0t 時(shí)刻的初始狀態(tài) )(0tx ，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí)完全能觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱 系統(tǒng)是能觀測(cè)的。顯然，這兩個(gè)概念是與狀態(tài)空 間表達(dá)式對(duì)系統(tǒng)分段內(nèi)部描述相對(duì)應(yīng)的。 圖 22 矢量正方向 根據(jù) 小車水平方向受的合力，可以列出以下方程： NxbFxM ??? ? （ 21） F P N F x x? xb? P ? mg N X F ? 擺桿 l 11 根據(jù)擺桿水平方向的受力情況可以得到下面的等式： )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把式（ 23）代入式（ 21）中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推導(dǎo)系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： )co s(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） ???? c o ss in 2??? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 注意：此方程中力矩的方向，由于 ,s ins in,c osc os, ??????? ??????故等式前面有負(fù)號(hào)。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入 — 狀態(tài)關(guān)系。 第二章應(yīng)用 Newton 法建立直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué) 模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，求出直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進(jìn)行分析，得出直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。對(duì)于倒立擺起擺問(wèn)題的研究最早是在 1976 年， Mori 等人使用了兩個(gè)控制器 的控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺控制。這一實(shí)踐的成功，完美的解決了三級(jí)倒立擺這一控制界的難題，將倒立擺的控制推向了一個(gè)嶄新的階段。用一種全新的概念進(jìn)行信息處理，克服了 PID 參數(shù)整定的盲目性。 隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展和進(jìn)步，被控對(duì)象也越來(lái)越復(fù)雜，因而對(duì)控制性能有了更高的要求，在高科技迅猛發(fā)展的今天，傳統(tǒng)的控制理論表現(xiàn)出越來(lái)越 6 多的局限性，其發(fā)展將面臨更 多新的挑戰(zhàn)。 1984 年，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究取得了突破 性的成果。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制理論也得到了進(jìn)一步的發(fā)展， 20 世紀(jì)中后期出現(xiàn)了很多新的控制方法。為了使擺桿擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個(gè)控制力，使其 在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置。 (2) 不確定性 造成不確定性的因素主要是指模型誤差、機(jī)械傳動(dòng)間隙和各種阻力等。 (2) 環(huán)形倒立擺系列 環(huán)形倒立擺是在圓周運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，圓周運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運(yùn) 動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)手臂末端裝有擺體組件，根據(jù)擺體組件的級(jí)數(shù)和串連或并聯(lián)的方式，可以組成很多形式的倒立擺。 關(guān)鍵詞： 直線倒立擺；建模；穩(wěn)定性； LQR；仿真 ABSTRACT Inverted pendulum system is nonlinear, strongly coupled, multivariable and naturally instable. In the control process this system can reflect some key problems of control theory, such as stabilization problem, nonlinear problems, robustness, and tracking problem. It’s a typically experimental facility which can verify the methods of modern control theory, moreover the control methods and thoughts play an important role in dealing with the general industrial process. So the studies of inverted pendulum system are theoretically and practically valued. Googol pany linear inverted pendulum, Newton39。不僅是驗(yàn)證現(xiàn)代控制理論方法的典型實(shí)驗(yàn)裝置，而且其控制方法和思路對(duì)處理一般工業(yè)過(guò)程亦有廣泛的用途，因此對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論研究和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，人們又進(jìn)行了拓展，產(chǎn)生了多種類型的倒立擺。 圖 11 直線倒立擺系列 圖 12 環(huán)形倒立擺系列 圖 13 復(fù)合倒立擺系列 3 圖 14 平面倒立擺系列 倒立擺特性 倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)盡管不同，但卻都具有相同的特性。為降低成本和制造方便，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸及電機(jī)功率都盡量要求最 4 小，在這些限制中，其中行程限制對(duì)于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。電機(jī)通過(guò)皮帶帶動(dòng)小車在固定的軌道上運(yùn)動(dòng)，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地?cái)[動(dòng)。倒立擺系統(tǒng)本身不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合、非 5 線性等特點(diǎn)使得被學(xué)術(shù)界看做是一個(gè)典型的控制裝置進(jìn)行研究。 1970 年 等實(shí)現(xiàn)了對(duì)一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。此外， Wiklund 等人用現(xiàn)代控制理論中的李亞普諾夫原理對(duì)環(huán)形一級(jí)倒立擺進(jìn)行了控制，并取得了良好的效果。 1997 年， 等利用模糊 PID 控制器控制一級(jí)倒立擺。雖然，國(guó)外對(duì)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究已取得了一系列的成功，但在國(guó)內(nèi)，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究也取得了很大的突破。 7 倒立擺系統(tǒng)自動(dòng)起擺 從上文的敘述來(lái)看，目前關(guān)于倒立擺的研究成果大部分主要是來(lái)自于穩(wěn)定控制的研究，相對(duì)來(lái)說(shuō)對(duì)于倒立擺起擺問(wèn)題研究的要少一些。先對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行能控性和能觀性分析，之后借助固高科技 Matlab 實(shí)時(shí)控制軟 件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì) LQR 控制器，并利用 LQR 控制方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了 Simulink 在線實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，調(diào)節(jié) LQR 參數(shù)，使之達(dá)到最佳穩(wěn)定調(diào)節(jié)狀態(tài)，通過(guò)在線對(duì)系統(tǒng)施加一定的擾動(dòng)，系統(tǒng)均能在很短的時(shí)間里恢復(fù)平衡，取得了較好的實(shí)時(shí)控制效果。 9 第二章 直線倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 系統(tǒng)建模可以分為兩種：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。 我們不妨做如下表 21 假設(shè)： 表 21 直線一級(jí)倒立擺相關(guān)假設(shè)量 字母 代表的對(duì)象 M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車的位置 10 圖 21 直線一級(jí)倒立擺模型 ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 ? 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖 22 是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。在現(xiàn)代控制理論中，分析和設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng)時(shí)，必修研究這個(gè)系統(tǒng)的能空性和能觀性。 對(duì)于此倒立擺經(jīng)過(guò)上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1,......, ?是線性無(wú)關(guān) 16 的，或 n*n 維矩陣 ]:...::[ 1 BAABB n?的秩為 n。 cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B]。利用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程的參數(shù)矩陣，并進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性進(jìn)行分析。 前面已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程（ 228）： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? 應(yīng)用線性反饋控制器，小車的輸入信號(hào)是階躍信號(hào)，四個(gè)狀態(tài)量 ?? ?? ,xx 分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出 ],[ ?? ?xy 包括小車位置和擺桿角