【正文】 系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何 ?系統(tǒng)狀態(tài)變量的能控性與能觀 測性又如何 ?系統(tǒng)的性能指標(biāo)不滿足要求時，如何利用狀態(tài)反饋來改善系統(tǒng)的性能使之適合人們的需要 ?如果狀態(tài)變量不能直接得到，如何根據(jù)對系統(tǒng)的觀測量來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，設(shè)計狀態(tài)觀測器等等問題，都是線性系統(tǒng)理論要解決的主要問題。由于狀態(tài)空間方法可以很方便地處理初始條件，又可以適用于非線性系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、隨機系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，同時又可以很方便地用計算機求解，所以它很快就發(fā)展起來，得到廣泛的應(yīng)用。 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 4 一 級倒立擺系統(tǒng)控制策略的研究 在現(xiàn)控制理論中，系統(tǒng)是用一組狀態(tài)變量構(gòu)成一階微分方程組來描述的，這組狀態(tài)變量能夠表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部運動的全部動態(tài)過程，因 而它能更深刻地 描述 系統(tǒng)的特征。 小結(jié) 本章詳細(xì)討論了采用牛頓力學(xué)的分析方法建立直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型的過程，并將得到的非線性模型在倒立擺的平衡位置附近進(jìn)行線性化，得到線性的狀態(tài)方程，并以得到的線性化的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)分析了其穩(wěn)定性，能控制性和能觀性。 將 A、 B、 C 的值分別帶入到 M 和 V 的表達(dá)式中，可以得到兩個矩陣的秩? ? ? ? 4ra nk M ra nk V??，與系統(tǒng)的階數(shù)相同，由定理 2， 3可知：直線一級倒立擺系統(tǒng)是能控、能觀的。 定理 2（能控性判據(jù)） n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) x AX Bu??狀態(tài)完全能控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能控性矩陣： 21nM B A B A B A B???? ?? 滿秩， ? ?rank M n? 。 定理 1（ 穩(wěn)定性判據(jù) ） Lyapunov 第一法則判定定理：對于線性定常系統(tǒng)? ? 0, 0 , 0x Ax x x t? ? ?有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在 Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分必要條件 是： A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）實部，且具有零實部的特征值為 A 的最小多項式的單根。 倒立擺系統(tǒng)中，擺桿角度和小車所受外力的傳遞函數(shù)如下： ? ?? ? 32 2 . 3 5 6 5 50 . 0 8 8 3 1 6 7 2 7 . 9 1 6 9 2 . 3 0 9 4 2s sU s s s s? ? ? ? ? () 以外界作用力為輸入的系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 xxu??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? () 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? () 以小車加速度為輸入的系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 29 .4 0 3xxu??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? () 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? () 直線一級倒立擺系統(tǒng)的性能分析 倒立擺相關(guān)理論的介紹 在得到倒立擺系統(tǒng)的實際模型后，我們就可以運用控制理論的相關(guān)知識對其特性沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 進(jìn)行分析，其中最重要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性和能觀性。 由（ 37）式的第一個方程： ? ?2I m l m g l m lx??? ? ? () 對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有 213I ml? ，因此可以得到： 2213 m l m l m g l m lx????? ? ????? () 化簡后得到： 3344g xll???? () 設(shè) ux? ，則有： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0330 0 044xxugll??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? () 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? () 其中， u 為小車的加速度。設(shè) u 代表被控對象的輸入力 F，式（ ）和式（ ）經(jīng)線性化后為： ? ?? ?2I ml mgl ml xM m x bx ml u???? ? ? ???? ? ? ??? () 對式（ ）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到以下的方程式： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222I ml s s mgl s ml X s sM m X s s bX s s ml s s U s? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? () 在（ ）式中推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 分析小車水平方向上的合力，可以得到以下的方程： Mx F bx N? ? ? () 分析擺桿水平方向上的受力，可以得到如下的方程： ? ?22 sindN m x ldt ??? () 即： 2c o s sinN m x m l m l? ? ? ?? ? ? () 綜合（ ）和（ ），可以得到以下的動力學(xué)方程： ? ? 2c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ?? ? ? ? ? () 分析擺桿垂直方向上的合力，可以得到如下的方程： ? ?22 c o sdP m g m ldt ??? () 即： 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? ? () 根據(jù)擺桿的力矩平衡方程，可以得到如 下的方程： sin c o sP l Nl I? ? ?? ? ? () 在（ ）式中我們令 ? 為擺桿與垂直向下方向的夾角，則 ? ? ???。對于直線一級倒立擺這樣比較簡單 的系統(tǒng)，采用通俗易懂的牛頓力學(xué)分析法建模。將小車抽象為質(zhì)點，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，擺桿繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，這樣就可以通過力學(xué)原理建立較為精確的數(shù)學(xué)模型。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個典型的機電 一體化系統(tǒng)，其機械部分遵守牛頓運動定律，其電子部分遵守電磁學(xué)的基本定律，因此可以通過機理建模得到系統(tǒng)較為精確的數(shù)學(xué)模型。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建可以分為兩種：實驗建模和機理建模。數(shù)學(xué)模型是分析、設(shè)計、預(yù)測以及控制一個系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。 4. 各部分的摩擦力與相對速度成正比。 ，與皮帶輪之間無相對滑動。實驗法是人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辨識。分析法是對系統(tǒng)各部分的運動機理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理規(guī)律或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運動方程。因此，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的首要工作。在靜態(tài)條件下 (即變量各階導(dǎo)數(shù)為零 )，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫 靜 態(tài)數(shù)學(xué)模型：而描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài) 數(shù)學(xué)模型。 圖 一級倒立擺系統(tǒng) 直線小車一級倒立擺控制策略研究 6 圖 一級倒立擺硬件組成結(jié)構(gòu)框圖 沈陽航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 3 一 級倒立擺系統(tǒng)建模與定性分析 在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這幾個部分組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。電氣部分主要由伺服驅(qū)動器、伺服電機、直流功率放大器、光電碼盤以及保護(hù)電路等幾部分組成。 2. 一級倒立擺的工作原理 一 級倒立擺控制系統(tǒng)硬件框圖如圖 所示，直線 一 級倒立擺計算機控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡圖 ．由機械部分、電氣部分和計算機控制三大部件組成。小車依靠電機施加控制力，可以在導(dǎo)軌上左右移動，其控制目標(biāo)是在有限長度的導(dǎo)軌上使倒立 擺 能夠豎立穩(wěn)定在小車上而不倒，達(dá)到動態(tài)平衡狀態(tài)。通過電機帶動皮帶直接控制小車，間接達(dá)到控制 擺桿 的目的。 一 級直線倒立擺的機械 部分主要包括小車、 擺桿 、皮帶輪、傳動皮帶等部件。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論涉及的 三 個主要基礎(chǔ)學(xué)科 :力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué) (包含計算機 )進(jìn)行有機的綜合應(yīng)用，在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是工程實踐中，存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的檢驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。第 4章介紹了三種控制理論，設(shè)計出了倒立擺系統(tǒng)的三種方法的控制器，并提出了基于 MATLAB/Sumlink 的參數(shù)整定方法，同時利用 MATLAB/Sumlink 進(jìn)行了三種控制算法的仿真實驗。第 2章分析建立了直線一級倒立擺系統(tǒng)的組成和工作原理。 課題 內(nèi)容和任務(wù) 本文詳細(xì)研究了一級倒立擺系統(tǒng)的控制策略。李德毅院士在國際上最早提出“隸屬云”理論，并用該方法實現(xiàn)了三級倒立擺的智能控制；北京師范大學(xué)李洪興教授的變論域模糊控制算法，也成功的應(yīng)用于三級倒立擺的控制，效果極佳； 2021年 8 月，李洪興教授應(yīng)用變論域自適應(yīng)模糊控制算法控制直線 倒立擺，成功地實現(xiàn)了全球首例“四級倒立擺實物系統(tǒng)控制”，填補了當(dāng)時的世界空白，繼此之后， 2021年 4 月李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的“復(fù)雜系統(tǒng)智能控制實驗室”應(yīng)用具有高維 PID 調(diào)節(jié)功能的變論域自適應(yīng)控制理論實現(xiàn)了對平面運動二級倒立擺實物系統(tǒng)的控制，之后，于 2021年 10 月在世界上第一個成功實現(xiàn)了平面三級倒立擺實物系統(tǒng)的控制。 我國的倒立擺研究雖然起步比較晚，但是隨著用于倒立擺系統(tǒng)的控制理論和方法的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)很多大學(xué)和科研機構(gòu)都對倒立擺進(jìn)行了大量卓有成效的研究工作。劉妹琴等用進(jìn)化 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 二級倒立擺。 1997 年翁正新等利用同樣的方法對傾斜軌道上的二級倒立擺進(jìn)行了仿真控制。 1995 年任章等應(yīng)用振蕩控制理論，通過在倒立擺支撐點的垂直方向上加入一個零均值的高頻振蕩信號改善了倒立擺系統(tǒng)本身的穩(wěn)定。國內(nèi)是從 80 年代開始對倒立擺進(jìn)行研究的， 1982年西安交通大學(xué)完成了二級倒立擺系統(tǒng)的研究和控制，采用了最優(yōu)控制和降緯觀測器，以模擬電路實現(xiàn)； 1983 年國防科技大學(xué)完成了一級倒立擺系統(tǒng)的研究和控制；1987 年上海機械學(xué)院完成了一、二級倒立擺系統(tǒng)的研制，并且完成了二級倒立擺在傾斜軌道上的控制?？刂评碚撛诋?dāng)前的工程技術(shù)界主要是如何面向工程實際、面向工程應(yīng)用的問題，一項工程的實施也存在一種可行 性的試驗問題，用一套較好的、較完備的試驗設(shè)備，將其理論及方法進(jìn)行有效的檢驗，倒立擺可以為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。同時其動態(tài)過程與人類的行走姿態(tài)類似，其平衡與火箭的發(fā)射姿態(tài)調(diào)整類似，因此倒立擺在研究雙足機器人直立行走、火箭發(fā)射過程的姿態(tài)調(diào)整和直升飛機控制領(lǐng)域中也有重要的現(xiàn)實意義，相關(guān)的科研成果已經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機器人學(xué)等諸多領(lǐng)域