【正文】 程 0x = A x + B u x x t 0?， （ 0 ） = ， 其中， x 是狀態(tài)向量， u 是輸入向量， A， B都是常數(shù)陣。 李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)： n階線性時不變連續(xù)系統(tǒng) 1C sl A ?（ ） x=Ax+Bu 的平衡狀態(tài) ix0? 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣 A的所有特征值均具有負實部。 穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù) 若控制系統(tǒng)在初始條件和擾動作用下，其瞬態(tài)響應(yīng)隨時間的推移而逐漸被衰減并趨于原點，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進行分析。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來分析。 豎直向上位置是直線一級倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，可以設(shè)計穩(wěn)定控制器來使直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點。 控制平臺：控制平臺主要由以下部分組成：與 IBM PC/AT 機兼容的 PC 機、GM400 運動控制卡、 GM400 運動控制卡用戶接口軟件、演示實 驗軟件。電機編碼器和角編碼器向運動控制卡反饋小車和擺桿位置（線位移和角位移）。 22 倒立擺系統(tǒng)組成框圖 直線倒立擺本體：直線倒立擺本體由基座、交流伺服電機、同步帶、帶輪、滑竿、滑套、滑臺、擺桿、角編碼器、限位開關(guān)等組成。 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。 運動控制卡經(jīng)過 DSP 內(nèi)部的控制算法實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。擺桿的角度有光電碼盤測量出來并直接反饋到控制卡，角度的變化率信號可以通過差分得到。伺服機構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。因此，倒立擺機理的研究具有中亞走的應(yīng)用價值，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。 理論是工程的先導(dǎo)， 倒立擺的研究具有重要的工程背景，機器人行走類似倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機器人在美國問世以來已有幾十年的歷史，但機器人的關(guān)鍵技術(shù)至今仍未很好的解決。 倒立擺系統(tǒng)作為一個實驗裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變，成本低廉；作為一個被控對象，它又相當(dāng)復(fù)雜，就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。倒立擺就是這樣一個被控制對象。以及課題將來的發(fā)展方向提出幾點個人的看法。 （ 3）應(yīng)用最優(yōu)二次型控制原理，設(shè)計了 LQR 自調(diào)整控制器，該控制器能根據(jù)狀態(tài)變量的變化自適應(yīng)的改變控制作用的大小，比傳統(tǒng) LQR控制器更快速的控制平面倒立擺達到穩(wěn)定，不 但能使兩個擺桿保持平衡，同時還能控制小車位置跟蹤參考輸入，最后在 Simulink 環(huán)境下進行了仿真，仿真實驗證明控制器的有效性 。 本文所做的工作 在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，綜合分析了倒立擺系統(tǒng)控制的各種方法，為了實現(xiàn) 直線一 級倒立擺的快速穩(wěn)定控制的目的，本論文主要完成以下工作： （ 1）介紹了倒立擺系統(tǒng)控制的國內(nèi)外研究狀況和發(fā)展前景，分析了倒立擺系統(tǒng)的特點、種類和控制方法及其發(fā)展方向，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用 牛頓力學(xué)分析方法與分析 動力學(xué)的拉格朗日方程對 直線一 級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進行了詳細的推導(dǎo)，并對其可控性、可觀性進行了分析，為研究倒立擺系統(tǒng)的控制策略做好了準備。 本節(jié)針對倒立擺系統(tǒng)的控制問題，設(shè)計并且實現(xiàn)幾種線性控制方法，其中包括機極點配置法、線性二次狀態(tài)調(diào)節(jié)（ LQR）和線性二次輸出調(diào)節(jié)器（ LQY）從理論上分析了 3 種方法各自的優(yōu)缺點。國際上每年都有很多關(guān)于倒立擺控制研究的論文發(fā)表，其中大部分是建立在計算機仿真研究的基礎(chǔ)上。在國內(nèi)，深圳固高科技有限公司一直致力于倒立擺產(chǎn)品的開發(fā)，現(xiàn)己成功地開發(fā)出直線倒立擺、旋轉(zhuǎn)倒立擺、 XY平臺平面倒立擺等多種倒立擺系統(tǒng)，其產(chǎn)品被國內(nèi)很多大學(xué)所采用，并作為對控制策略方法進行研究的重要手段。當(dāng)前，常見的倒立擺的控制規(guī)律有以下幾種 :(1)PID 控制； (2)狀態(tài)反饋控制； (3)模糊控制； (4)自適應(yīng)控制； (5)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制； (6)滑模變結(jié)構(gòu)控制； (7)擬人智能控制； (8)幾種控制算法相結(jié)合的混合控制，充分利用各控制算法的優(yōu)越性，來實現(xiàn)一種組合式的控制方法，如前文所述的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊結(jié)合的方法、模糊和變結(jié)構(gòu)相結(jié)合的方法 。于是滑模變結(jié)構(gòu)控制和其他先進控制方法相結(jié)合，可以在一定程度上削弱抖振，這樣滑模和模糊方法相結(jié)合 [2526]、和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合 [2728]、和遺傳算法相結(jié) 合 [29]等控制方法就迅速發(fā)展起來了，這些方法可以實現(xiàn)快速控制，具有很強的魯棒性，同時又能消除抖振，具有更好的控制效果。 2021 年張克勤等 [24]利用倒立擺的特征值，設(shè)計了一種全魯棒滑模面，實現(xiàn)了具有單輸入的三級倒立擺全魯棒滑?？刂?。 倒立擺系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性系統(tǒng)，非線性的控制方法應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)也受到人們的重視，滑模變結(jié)構(gòu)控制（ Sliding mode control，簡稱 SMC）屬于非線性控制的范疇，又具有對干擾和不確定參數(shù)的完全自適應(yīng)性的特點，因此逐漸越畢業(yè)設(shè)計論文 9 來越受到重視，有很多不同的滑?？刂破饕呀?jīng)應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)的控制。北京航空航天大學(xué)張明廉教授領(lǐng)導(dǎo)的課題組，提出了“擬人智能控制理論”框架 [2021]，于 1994年 8 月成功地實現(xiàn)單電機控制的三級倒立擺控制，并 給出了基于擬人智能控制理論進行復(fù)雜自動控制系統(tǒng)設(shè)計的一般結(jié)論 。 國內(nèi)很多大學(xué)和科研機構(gòu)都對倒立擺控制進行了大量有成效的研究工作。 楊振強 等 [18]提出用遞階模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制二級倒立擺，利用專家的控制經(jīng)驗初始化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，并利用遺傳算法對其進行優(yōu)化，有效減少了多變量輸入的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的規(guī)則數(shù)，實驗結(jié)果表明該方法控制效果好、魯棒性強。 Lee HahnMing 等 [16]利用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的模糊規(guī)則，并通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練修正模糊規(guī)則，結(jié)果實現(xiàn)了倒立擺的控制。陳暉等 [14]和張飛舟等 [15]分別提出 利用云模型實現(xiàn)智能控制倒立擺的方法 ， 不需要被控對象的數(shù)學(xué)模型 ,只需依據(jù)人的經(jīng)驗、感覺和邏輯判斷 ,將人用語言值 通過云模型轉(zhuǎn)換為控制規(guī)則， 就可以實現(xiàn)控制。在非常復(fù)雜對象的控制問題面前，把人工智能的方法 引入控制系統(tǒng)，使得 各種新的先進控制方法更加廣泛地應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)，如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、云模型、滑模變結(jié)構(gòu)控制等。 Yi Jianqiang 等 [11]設(shè)計了能根據(jù)實際情況動態(tài)調(diào)整小車位置控制和兩個擺桿角度控制權(quán)重的模糊控制器，使角度控制優(yōu)先于位置控制，最終達到平行二級倒立擺的穩(wěn)定。作者通過最優(yōu)控制理論得出倒立擺系統(tǒng)各狀態(tài)變量之間的綜合關(guān)系，來處理系統(tǒng)的多變量問題，通過仿 真尋優(yōu)和重復(fù)實驗相結(jié)合的方法，得到了控制倒立擺的最優(yōu)參數(shù)，并最終實現(xiàn)實時控制。針對模糊控制器隨著輸入量的增多，控制規(guī)則數(shù)隨之成指數(shù)增加，進而使模糊控制器的設(shè)計異常復(fù)雜，執(zhí)行時間大大增長的問題， 1995 年，張乃堯等 [8]采用雙閉環(huán)模糊控制方案控制一級倒立擺，很好的解決了這個問題。由于傳統(tǒng)的經(jīng)典控制理論主要采用傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡為基礎(chǔ)的頻域分析方法，能夠很好地解決單輸入單輸出問題，研究的系統(tǒng)多半是線性定常系統(tǒng)，而狀態(tài)反饋控制依賴于線性化的數(shù)學(xué)模型，因此對于一般的工業(yè)過程尤其是數(shù)學(xué)模型變化的或不清晰的非線性控制對象無能為力。 對倒立擺研究我國起步較晚，從 70 年代中期開始研究。 1972 年 Sturgen 等 [2]應(yīng)用極點配置法對二級倒立擺設(shè)計了模擬控制器并使用了全維觀測器。在 60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性證 例，控制理論界提出了倒立擺的概念，并用其驗證控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國許多科學(xué)家的重視。 鑒于倒立擺的穩(wěn)定控制研究的重要意義，國內(nèi)外學(xué)者對此給予了廣泛關(guān)注。 倒立擺系統(tǒng)控制 的研究 歷史及現(xiàn)狀 倒立擺系統(tǒng)的最初研究開始于二十世紀 50年代，麻省理工學(xué)院專家設(shè)計出一級倒立擺實驗設(shè)備，而后世界各國都將一級倒立擺控制作為驗證某種控制理論或方法的典型方案。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機功率都盡量要求最小。 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上的為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下的為穩(wěn)定的平衡點。 2不確定性 主要是模型誤差遺跡機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不 確定性，如通過試駕預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾 珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。此外，在工程實踐中，多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用，存在一種將其理論和方法得到 有效的驗證的可行性試驗問題，倒立擺控制系統(tǒng)可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。正是由于對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重大的理論研究價值和誘人的應(yīng)用前景，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中極為熱點的研究課題。另一方面，凡任何重心在上、支點在下的控制問題，都可近似地化為一種倒立擺模型。 對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具有重要的理論意義， 而且還具有很重要的工程實踐意義。倒立擺系統(tǒng)是一個復(fù)雜的多變量、高度非線性、強耦合和快速運動的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，其種類很多，通?？煞譃橹本€倒立擺，旋轉(zhuǎn)倒立擺和平面倒立 擺等，按照級數(shù)又分為一級、二級、三級、四級等，隨著級數(shù)的增加，它的控制難度也相應(yīng)提高。 PID Controller 畢業(yè)設(shè)計論文 4 目錄 1 緒論 .............................................................................................................................. 5 倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的背景和意義 ................................................................... 5 倒立擺系統(tǒng)的特性 ............................................................................................... 6 倒立擺系統(tǒng)控制的研究歷史及現(xiàn)狀 ...................................................................... 6 倒立擺控制策略的研究 ...................................................................................... 10 本文所做的工作 ................................................................................................ 10 倒立擺系統(tǒng) ............................................................................................................... 10 倒立擺的工作原理 ............................................................................................. 11 倒立擺系統(tǒng)特性分析 .......................................................................................... 13 3一級倒立擺的物理建模 ................................................................................................ 14 微分方程的推導(dǎo) ................................................................................................. 16 傳遞函數(shù)的推導(dǎo) ................................................................................................. 17 狀態(tài)空間方程的推導(dǎo) .......................................................................................... 18 一級倒立擺系統(tǒng)的定性分析 .............................................................................. 20 4Matlab基礎(chǔ)知識介紹 .............................................................