【正文】 設(shè)計（論文） 18 圖 倒立擺 PID控制框圖 根據(jù)以上的控制框圖，代入倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) MATLAB/Simulink中已有的 PID控制模塊，我們可以建立如下的輸入信號為階躍函數(shù)的仿真模型，并通過觀察擺桿的角度隨時問變化的曲線來整定 PID控制器的參數(shù)。此時，我們就想到利用軟件仿真的形式來實現(xiàn)對 PID參數(shù)的整定，而 MATLAB/Simulink就給我們提 供了一個良好的軟件平臺。 采用 PID 控制的仿真研究 在 PID參數(shù)整定中，工程整定法因其固有的優(yōu)點而受到廣大工程技術(shù)人員的歡迎。這四種方法的共同點都是通過試驗，然后按照 工 程經(jīng)驗公式對控制器參數(shù)進行整定。魯棒 PID參數(shù)整定法在被控對象的有關(guān)工程參數(shù)比較準確時，該法整定的參數(shù)就比較偏保守。這四種方法各有其特點，穩(wěn)定邊界法和 4： l衰減法的上升時 間短、調(diào)節(jié)過程快：而魯棒 PID參數(shù)整定法和 ISTE最優(yōu)參數(shù)整定法超調(diào)量小，調(diào)節(jié)過程比較平穩(wěn)，魯棒性好。因其方法簡單、計算方便、易于掌握，所以在工程實際中被廣泛采用。因此，理論計算整定法在實際中應用不是很廣泛。這種方法所得到的計算數(shù)據(jù)未必可以直接用，還必須通過工程實際進行調(diào)整和修改?？傊?，比例主要用于偏差的粗調(diào) ， 保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)；積分主要用于偏差的細調(diào)，保證控制系統(tǒng)的準；微分主要用于偏差的細調(diào)，保證控制系統(tǒng)的快。它是根據(jù)被控過程的特性確定 PID控制器的比例系數(shù)、積分時間和微分時間的大小，使得自動控制系統(tǒng)工作在最佳的狀態(tài)。 Simulink環(huán)境是解決非線性系統(tǒng)建模、分析與仿真的理想工具。 Simulink 環(huán) 境就是解決這樣問題的理想工具，它包含一個龐大的模塊庫，用戶可以通過鼠標點擊和拖拉模塊既快速又方便地對系統(tǒng)進行建模仿真，而不必編寫任何程序代碼。比如說，若想研究結(jié)構(gòu)復雜的非線性系統(tǒng)，用前面介紹的方法則需要寫出系統(tǒng)的微分方程，這是很復雜的。 控制系統(tǒng)仿真研究 是 一種很常見的需求，系統(tǒng)在某些信號驅(qū)動下，觀測系統(tǒng)的時域響應，從中得出期望的結(jié)論。同時 Simulink還集成了 Stateflow，用來建模、仿真復雜事件驅(qū)動系統(tǒng)的邏輯行為。 Simulink提供了采用鼠標拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互平臺。 仿真軟件 MATLAB/Simulink 簡介 倒立擺實物控制系統(tǒng)是一個典型的計算機控制系統(tǒng)，其控制是通過軟件編程實現(xiàn)的，因此控制程序的編寫是實現(xiàn)倒立擺實物系統(tǒng)控制的重要環(huán)節(jié)。同時 PID控制也太原科技大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 具有其固有的缺點： PID在控制非線性、時變、耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的復 雜過程時，效果不是很好。雖然很多被控對象是非線性的或時變的，但是通過適當?shù)暮喕?，可以將基本線性和動態(tài)特性不隨時間變化的系統(tǒng)，這樣就可以通過 PID控制了。如果 過程的動態(tài)特性變化，例如可能由負載的變化引起系統(tǒng)動態(tài)特性變化， PID參數(shù)就可以重新整定。另外 PID參數(shù)較 易整定。 PID控制具有以下優(yōu)點： (1)原理簡單，使用方便， PID參數(shù)可以根據(jù)過程的動態(tài)特性及時整定。即 ， 當我們不完全了解一個系統(tǒng)和被控對象，或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時，最適合用 PID控 制技術(shù)。 PID控制以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。微分部分作用的強弱由微分時間常數(shù) TD的大小決定， Kd越大則抑制偏差變化的作用越強，反之則越小。當 Ti較大時，積分作用較弱，這時系統(tǒng)在過渡過程中不易產(chǎn)生震蕩，但是過渡時問較長：當 Ti較小時，積分作用較強，這時過渡時間較短，但是有可能產(chǎn)生震蕩。從積分環(huán)節(jié)的數(shù)學表達式可以看出，只要存在偏差，其就會不斷增加。加大 KP雖然可以減小偏差，但是 Kp過大會導致系統(tǒng)的超調(diào)量增大或產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，最終使系統(tǒng)的動態(tài)性能變差。在 PID中因?qū)⑵畹谋壤?(P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，故稱 PID控制器，其原理圖如下所示 ： 圖 PID控制器原理圖 PID控制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下： (1)比例環(huán)節(jié)：成比例的 反饋 控制系統(tǒng)的偏差信號 e(0)儀產(chǎn)生 ，控制器立即就產(chǎn)生控制作用，使被 PID控制的對象朝著使偏差減小的方向變化。 PID(比例 積分 微分 )控制是一種簡單而又優(yōu)秀的控制方法，在生產(chǎn)過程自動化控制的發(fā)展歷程中， PID控制是一種歷史最悠久、生命力最強的基本 控制方法。 太原科技大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第 三 章 直線一級倒立擺的 PID 控制 PID 控制原理 當今的自動控制技術(shù)都是基于反饋的概念 ， 反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。 本章小結(jié) 本章詳細討論了采用牛頓力學的分析方法建立直線一級倒立擺數(shù)學模型的過程，并將得到的非線性模型在倒立擺的平衡位置附近進行 線性化，得到線性的狀態(tài)方程，并以得到的線性 化的數(shù)學模型為基礎(chǔ)分析了其穩(wěn)定性，輸入輸出的能控制性 。 應用以上原理對系統(tǒng)進行可控性分析， ?????????????100000000010A ???????3010B ??????? 0100 0001C ???????00D 代入上式，并在 MATLAB中計算： 直線一級倒立擺的計算機控制 13 運行程序后 的結(jié)果為 ： Ans = 4 ans = 2 可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量 y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可 以對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計， 使系統(tǒng)穩(wěn)定。 對于連續(xù)時間系統(tǒng) ： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當且僅當向量組 BAABB n 1, ?? 是線性無關(guān)的，或 n*n維矩陣 ? ?BAABB n 1????? 的秩為 n。既然需要設(shè)計控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。 在得到系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，為進一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析。 直線一級倒立擺 系統(tǒng)的分析 若系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，但擾動去除后，如果能 恢直線一級倒立擺的計算機控制 11 復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 太原科技大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 ? ?? ? 267 21 027 2 2??? s ssX s (219) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 2 ??? ssV s (220) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 3 0 9 4 1 6 8 8 3 1 6 3 5 6 5 23 ????? sss ssU s (221) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013 5 6 5 08 8 3 1 6 008 2 8 3 5 6 5 100006 2 9 3 1 8 8 3 1 6 0010????????????????? (222) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxyuxxxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? (223) 需要說明的是，本文的控制器設(shè)計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入。 方程組對 ???,x 解代數(shù)方程，得到解如下： ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ???????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMmgxM mlmMIml buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222??????????????? (217) 整 理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?uxxxyuM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????0001000001000010000000102222222222?????????????????(218) 只要將直線一級倒立擺的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式 (218)中，便可得到矩陣 A、 B、 C、D。當擺桿與垂直向上方向之間的夾角 φ與 1（單位是弧度）相比很小，即 φ 1時 ，則可以進行近似處理： 0,s in,1c os 2 ??????????? dtd ???? 為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，用 U表示被控對象的輸入力， 經(jīng)線性化處理太原科技大學畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 后系統(tǒng)的數(shù)學模型成為如下微分方程表達式： ? ?? ?????????????umlxbxmMxmlm g l??? ?????????2mlI (29) 對式 (29)進行拉普拉斯變換，得 到 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ????? sUssmlssbXssXmM ssm l Xsm g lssmlI22222 (210) 注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。 合并這兩個方程，約去 P 和 N，得到第二個運動方程： ? ? ??? c o ss in2 xmlm g lmlI ???? ???? (28) 設(shè) θ =π +φ（ φ 是擺 桿與垂直向上方向之間的夾角）， 該系 統(tǒng)是明顯 的非線性系統(tǒng)。 我們不妨做以下假設(shè)： M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 F 加在小車上的力 x 小車位置 φ 擺桿與垂直向上方向的夾角 θ 擺桿與垂直向下方向的