【正文】 命令可以分別求得 rank(S)=6 和 rank(V)=6。相反， δ 越小，系統(tǒng)越不容易被控制。 定理 3(相對可控性判據(jù) )：線性定常連續(xù)系統(tǒng) uX AX B??，矩陣 A 的最小 奇異值與最大奇異值的比值為系統(tǒng)的相對可控度，記作 δ。那么 a l ,a2,...,ar 稱為矩陣 A 的奇異值。其中 U 和 V 為分 別為 mn 與 nm 階正交陣， S 為 nn 階對角陣，記為 S=diag(a1,a2,...,ar,0,..., 0)。 為了衡量系統(tǒng)控制器設(shè)計的難度，或者說衡量系統(tǒng)本身可控性的相對程度，一般稱之為相對可控性，可通過計算可控性矩陣的奇異值 b 來判斷。 定理 2(可觀性判據(jù) )： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) uX AX By CX? ??? ?? 狀態(tài)完全可觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可觀性矩陣： 21nCCAV CACA?????????????????? 滿秩，即 rank( V)=n。 定理 1(可 控性判據(jù) )： n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) X AX Bu??狀態(tài)完全可控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的可控性矩陣： 2[ . . . ( 1 ) ]S B A B A B A n B?? 滿秩，即 rank(S}=n。因為需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么首先要考慮系統(tǒng)是否可控。其穩(wěn)定性分析可以用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論。 1)系統(tǒng)總動能 :T=T0+T1+T2+T3 其中，小車的動能： 20 12T Mx? 一級擺動能： 22221 1 1 1 1 1 1 111 ( si n ) ( c os )62 ddT m l x l ldt dt? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 二級擺動能： 22222 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 21 ( 2 sin sin ) ( 2 c os c os )6 ddT m l m x l l l ldt dt? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 質(zhì)量塊動能： 223 3 1 1 1 11 ( 2 si n ) ( 2 c os )2 ddT m x l ldt dt????? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 2)系統(tǒng)總勢能 :V=V0+V1+V2+V3 其中， 小車勢能： V0=0 一級擺勢能： V1=m1gl1cosθ1 二級擺勢能： V2=m2g(2l1cosθ1+l2cosθ2) 質(zhì)量塊勢能： V3=2m3gl1cosθ1 根據(jù)所得到的系統(tǒng)總動能 T 和系統(tǒng)總勢能 V，代入式 (31)可以求出拉格朗日 算子 L，得： ? ?2 2 2 21 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1L T V1 2 2( 0 1 2 3 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) c o s2 3 3c o s 2 c o s c o s ( 2 c o s c o s ) 2 c o sm m m m x m m m l m m m l x m l xm l x m l l m g l m g l l m g l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?因為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo) θ1， θ2上均無外力作用，所以以下方程組成立： 112200d L Ldtd L Ldt??????? ??? ???? ??? ??? ??? (33) 對拉格朗日算子 L 進(jìn)行處理，得： 221 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 1 2 222 1 2 2 1 2 1 2 3 1222 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 222 2 2 2 2 2 24( 4 4 ) ( 2 2 ) c os 2 c os( 1 2)32 si n( ) ( 2 2 ) 1 si n 042 c os( ) c os 2 si n( )3si n sim m m l m m m l x m l lm l l m m m glm l l m l x m l l m lm l m l x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 2 2 2 2 2( 3 4)n si n 0m gl? ? ?????????? ???對于方程組 (34)，關(guān)于 ? ， 2? 求解，得： ? =P/Q (35) 其中， 222 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 1 21 2 3 2 122 2 2 2 1 2 1 1 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 221 2 3 2 1 24( ( 2 2 ) c os 2 s i n( )3( 2 2 ) s i n )2 2 1 2 c os ( 1 2) ( c os 2 s i n( )s i n s i n s i n ) )44( ( 4 4 )33P m l m m m l x m l lm m m glm l l m l x m l lm l x m gl m l xQ m m m m l l? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 2 2 2 2 22 1 2 1 224 c os ( ) )/m l lRS?????? (36) 其中， 22 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 1 12 2 21 2 3 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 c os( ) ( ( 2 2 ) c os 2 sin( ) ( 2 2 ) sin )4( 4 4 ) ( c os 2 sin( ) sin sin sin ) )3R m l l m m m l x m l l m m m glm m m l m l x m l l m l x m gl m l x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 3 2 1 244( 2 c os ( ) ( 4 4 ) )33S m l l m m m m l l??? ? ? ? ? 式 (35)和式 (36)可表示成以下形式： 1 1 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (37) 2 2 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (38) 在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，可以得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 5 1 1 6 2 1 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (39) 其中， 1 2 1 21110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31121 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 2 2 ) 8 6 .6 9( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 212132 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 4 3 12 )xxxf gmk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21140 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21151 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21162 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31170 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 13 ( 4 ) 42( 4 6 12 )xxxm m mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 4 2 5 1 2 6 2 2 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (310) 其中， 1 2 1 22210 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32221 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 2 2 ) 4 0 .32 ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21 2 32232 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 3 3 ) 3 9 .4 5( 4 6 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 22240 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22251 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22262 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32270 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 23 ( ) ( 4 3 12 )xxxm l mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 對于二級倒立擺系統(tǒng)，取以下六個變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量： ? ?1 2 1 2, , , , ,xx? ? ? ? 并且取小車加速度為輸入變量，即： ux? 那么，由式 (39)和式 (310)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 112211220 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 8 6 .6 9 2 1 .6 2 0 0 0 6 .6 40 4 0 .3 1 3 9 .4 5 0 0 0 0 .0 8 8x xuxx?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ????? (311) 12121 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0xxyux????????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析 相關(guān)定理簡介 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后