【正文】 atlab中的LMI工具箱所提供的求解器mincx可求解。所以在（）式矩陣左、右兩端分別乘上矩陣得等價的LMI： （）令，化簡得矩陣不等式（），證畢。證明 運用前面的有界實引理得，對閉環(huán)控制系統(tǒng)（），當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正定對稱矩陣使得 （）成立時，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且。假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以直接測量，本文的目的就是設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器 （）使得一個相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng) （）漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)滿足如下要求 （） 的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計有界實引理 假設(shè)存在這樣一個傳遞函數(shù)，使得成立，那么得到以下兩個條件是完全等價的：（a）系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，且有，（b）存在一個正定對稱矩陣，使 （）定理 對于系統(tǒng)()，存在一個狀態(tài)反饋H∞控制器。上述控制算法大都針對倒立擺工作在平衡點的穩(wěn)定控制本論文設(shè)計的控制器首先是能實現(xiàn)倒立擺的起擺，在擺起到平衡位置附近時再切換至穩(wěn)定控制。楊振強等為解決模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在控制多變量系統(tǒng)時的規(guī)則組合爆炸問題，提出用狀態(tài)變量合成模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺。：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，它能學(xué)習(xí)和適應(yīng)嚴重不確定系統(tǒng)的動態(tài)特性[16]。最后，模糊輸出被分解成可以加到小車上的確切的驅(qū)動電壓，這個過程為解模糊判決。它們都可以用模糊語言變量來表示用類似的模糊集合，可以對控制小車運動的輸出進行定義。以擺桿的傾角和速度作為輸入變量可以將傾角描述成：向左傾角大、中、小；向右傾角小、中、大。其主要工作是模糊控制器的設(shè)計。：用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則,形成一種定性的推理機制[15]?？刂破髟O(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了實現(xiàn)倒立擺穩(wěn)定性控制并且可以承受一定的干擾，需要給系統(tǒng)設(shè)計控制器，目前典型的控制器設(shè)計理論有：：通過機理分析建立動力學(xué)模型,使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出非線性模型，并在平衡點處進行線性化得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，從而設(shè)計出PID控制器實現(xiàn)控制。但是經(jīng)過假設(shè)忽略一些次要因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。試驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。通過對數(shù)字濾波器的存儲器編寫程序，就可以實現(xiàn)各種濾波功能。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。解決這類問題一般采用三種方法：?縮小測量范圍，并取近似值?采用非線性的指示刻度?增加非線性補償環(huán)節(jié)。這種非線性補償完全可以用計算機的軟件來完成，其補償過程較簡單，精確度也很高，又減少了硬件電路的復(fù)雜性。模擬量接口方式為：傳感器輸出信號→放大→采樣、保持→模擬多路開關(guān)→A/D轉(zhuǎn)換→I/O接口→微型機；開關(guān)量接口方式：開關(guān)型傳感器輸出二值式信號（邏輯1或0）→三態(tài)緩沖器→微型機；數(shù)字量接口方式：數(shù)字型傳感器輸出數(shù)字量（二進制代碼、BCD碼、脈沖序列等）→（計數(shù)器）→三態(tài)緩沖器→微型機。傳感器接口技術(shù)：輸入到微型計算機的信息必須是其能夠處理的數(shù)字量信息。傳感器前期信號處理：傳感器與微機的接口電路主要由信號預(yù)處理電路、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和計算機接口電路組成。其中，電機的驅(qū)動由與其配套的伺服驅(qū)動器提供。： 一級倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖倒立擺控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構(gòu)包括伺服電機、與電機連接的皮帶輪和擺桿。當(dāng)擺桿到預(yù)期位置后，整個還系統(tǒng)能克服隨機擾動繼續(xù)保持穩(wěn)定的位置。DSP內(nèi)部的控制算法作用于運動控制卡從而實現(xiàn)決策控制，產(chǎn)生與之相應(yīng)的控制變量，實現(xiàn)控制電機轉(zhuǎn)動、帶動小車運動和保持擺桿平衡等效果。在倒立擺控制系統(tǒng)中，小車的位移可以通過光電碼盤的反饋獲得，進而通過對位移的差分得到速度信號，同時反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡；這樣，各個擺桿的角度由光電碼盤測得并直接反饋到控制卡，而通過對角度的差分可以得到角速度信號，并同時反饋給控制卡和伺服驅(qū)動器。 單級倒立擺實驗臺通過實物圖，我們可以看出，倒立擺控制系統(tǒng)由微型計算機、伺服機構(gòu)、遠動控制模塊、位置傳感器（光電碼盤）和倒立擺本體等幾大部分組成，是一個典型的閉環(huán)系統(tǒng)。模塊化的意思是通過增減擺桿組件來實現(xiàn)同類倒立擺中單級與多級之間的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換不同類別的倒立擺也只需更換基座而已；工業(yè)化指的是按照工業(yè)標準設(shè)計及制造它的機械結(jié)構(gòu)，所有產(chǎn)品零部件均采用工業(yè)級產(chǎn)品；創(chuàng)新性即隨意配置具有個性的實驗平臺，可開發(fā)、驗證新生的控制算法。學(xué)校的設(shè)備是固高科技直線一級倒立擺，型號為GLIP2001。不幸的是，由于MATLAB是解釋性語言，而不是編譯型語言，產(chǎn)生的程序執(zhí)行速度慢。MATLAB的靈活性和平臺獨立性是通過將MATLAB代碼編譯成設(shè)備獨立的P代碼，然后在運行時解釋P代碼來實現(xiàn)的。MATLAB允許程序員為他們的程序建立一個交互式的用戶圖形界面。當(dāng)MATLAB 運行時，這些繪圖和圖片將會出現(xiàn)在這臺電腦的圖像輸出設(shè)備中。例如，用戶可以購買標準的工具箱以解決在信號處理，控制系統(tǒng)，通信，圖象處理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和其他許多領(lǐng)域的問題。像這樣成百上千的函數(shù)已經(jīng)在MATLAB中編寫好，所以讓編程變得更加簡單。例如，假設(shè)你正在編寫一個程序，這個程序要求你必須計算與輸入有關(guān)的統(tǒng)計量。因此用戶可以根據(jù)需要把MATLAB 編寫的程序移植到新平臺。windows 98/2000/NT 和許多版本的UNIX 系統(tǒng)都支持它。這些工具包括：一個集成的編譯/調(diào)試器，在線文件手冊，工作臺和擴展范例。這是因為這種語言極易使用，對于教育應(yīng)用和快速建立新程序的原型，它是一個理想的工具。執(zhí)行預(yù)先寫好的大型程序。通過仔細閱讀、參考劉勍、溫志賢編寫的《MATLAB基礎(chǔ)及應(yīng)用》整理心得如下：MATLAB是種解釋型語言，就像各種版本的BASIC。控制理論的研究成果已有很多被編入MATLAB等商業(yè)軟件中，這就為研究倒立擺系統(tǒng)的控制提供了強大的技術(shù)支持和開發(fā)手段。因而，線性系統(tǒng)的魯棒控制方法正在向非線性系統(tǒng)擴展，并在相對階與反饋線性化、最小相位與零輸出動態(tài)、無源性與穩(wěn)定性、耗散性與增益、Lyapunov函數(shù)的遞推設(shè)計、魯棒鎮(zhèn)定、魯棒控制等方面取得了不少成果。目前，線性系統(tǒng)的魯棒控制理論已基本形成，但還有許多問題需要繼續(xù)研究。近來仿射Lyapunov方法、攝動模式形如矩陣組的穩(wěn)定半徑計算、具有參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析、時域區(qū)間矩陣族的魯棒穩(wěn)定性等問題均有一定的突破，但仍有待進一步研究。c)時域方法在時域魯棒性分析中，Lyapunov方法得到了廣泛應(yīng)用。但它只討論了多項式族的Hurwitz問題，對于一般的D穩(wěn)定性困難較大；另外，在它應(yīng)用到實際控制系統(tǒng)時也具有保守性。同一時期，由Doyle提出的結(jié)構(gòu)奇異值方法克服了優(yōu)化控制器設(shè)計方法過分保守的不足，完美地把魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能結(jié)合起來；但完善的綜合方法還有待進一步的研究和發(fā)展。優(yōu)化設(shè)計方法的提出使魯棒穩(wěn)定化問題、跟蹤問題、模型匹配問題、最小靈敏度和混合靈敏度問題等均可歸納為標準的二優(yōu)化設(shè)計問題，而標準的優(yōu)化設(shè)計問題的求解步驟如下：先通過Youla參數(shù)化將其換成模型匹配或一般距離問題，然后再變換為Nehari問題來進行求解：亦或者將其歸結(jié)為兩個代數(shù)Riccati方程或線性矩陣不等式的求解問題，從而進行求解。而在70年代里所提出的逆奈奎斯特陣列方法多項式矩陣方法及控制器參數(shù)化形式則為多變量系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定提供了一個重要工具。a)頻率域方法。60年代，Cruz和Perkins將SIS0系統(tǒng)的靈敏度分析推廣到MIM0系統(tǒng)，并因此引入靈敏度矩陣來衡量閉環(huán)和開環(huán)的相關(guān)系統(tǒng)性能．這類魯棒控制的早期研究主要局限于系統(tǒng)不確定性的參數(shù)在微小范圍攝動的情況下，但事實上，系統(tǒng)參數(shù)攝動也存在著在較大范圍內(nèi)變化的可能性，這也就導(dǎo)致了現(xiàn)代魯棒控制理論的誕生。在這一背景下，不確定系統(tǒng)的控制理論研究逐漸成為當(dāng)前研究熱點之一。然而在實際系統(tǒng)運行的過程中，由于系統(tǒng)參數(shù)變化、外部擾動以及檢測技術(shù)的限制等不確定因素的影響，往往無法捕獲控制對象的精確模型。圖 。其中X是文本區(qū)上半部分描述矩陣變量X的變量名。2．在文本區(qū)的下半部分，按照MATLAB的表示方式給出要描述的線性矩陣不等式。按以下步驟來確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)：1．在文本區(qū)域的上半部分給出每一個矩陣變量的描述（名字和結(jié)構(gòu)），其結(jié)構(gòu)是通過類型（表示對稱塊矩陣，表示無結(jié)構(gòu)的長方矩陣，表示其他結(jié)構(gòu)矩陣）和一個“附加”的結(jié)構(gòu)矩陣（類似于lmivar中的struct）來刻畫的?！狶IMEDT線性矩陣不等式編輯器“LIMEDT”是一個圖形用戶界面，它可以按符號方式直接確定線性矩陣不等式系統(tǒng)。 求解三個一般的線性矩陣不等式問題；216。 獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息；216。LMI 工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：216。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的形式加以描述。一個線性矩陣不等式就是具有以下一般形式的一個矩陣不等式： （）其中：是給定的對稱常數(shù)矩陣，是未知變量，稱為決策變量，是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量。(LMI)方法[14](LMI)方法概述控制系統(tǒng)中，許多控制問題可以轉(zhuǎn)化為LMI形式。如能，便可斷定系統(tǒng)的平衡位置是漸近穩(wěn)定（不穩(wěn)定）、穩(wěn)定的，否則任何結(jié)論也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函數(shù)。若正定，便能斷定系統(tǒng)平衡位置漸近穩(wěn)定(穩(wěn)定)；否則，也只好重新再找其它合適的V函數(shù)。Lyapunov直接法的核心技巧是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，雖然人們針對不同實際問題已經(jīng)運用多種方法(能量函數(shù)法、類比法、梯度法、變梯度法、微分矩方法等)具體構(gòu)造出滿足需要的Lyapunov函數(shù)，并獲得了廣泛的承認，但構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法仍無一般規(guī)律可循，純粹是研究工作者本人的經(jīng)驗和技巧．這些方法都是試探性的，沒有構(gòu)造性的必然成功程序可言。（c）不穩(wěn)定性定理假設(shè)是系統(tǒng)的狀態(tài)方程，其中是它的平衡態(tài)。（b）漸近穩(wěn)定性定理設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下 （）為平衡態(tài)。如果連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)存在且滿足下述條件：1) 為非正定（包括半負定）的，則系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的；2) 再者，如果的定義域為，當(dāng)任意的和任意時，在范圍內(nèi)不恒為零，則該系統(tǒng)在原點處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，反之不是。為穩(wěn)定性理論的發(fā)展和完善奠定了牢固的基礎(chǔ)，這些定理也因此被譽為穩(wěn)定性判定的基本定理。定義：若對任意給定的，均能找到，使得當(dāng)時的解能夠滿足且，則稱（）式的“零”解是穩(wěn)定的，否則 ()式的“零”解就是不穩(wěn)定的。我們給出微分方程“零”解趨于穩(wěn)定的嚴格定義如下。所以，與“零”解的誤差很小的條件是足夠小。由于系統(tǒng)的不同，初始值微分變化的影響也是不同的，我們假設(shè)如下初始值問題 （）它的解為，其中是（）式的一個解。他的概念和理念也發(fā)展得十分迅速，在當(dāng)今社會已經(jīng)成為了控制領(lǐng)域的研究熱點。如今，廣泛的應(yīng)用于自動控制、生化反應(yīng)、生態(tài)生物、航空技術(shù)等工程技術(shù)和自然科學(xué)方面的穩(wěn)定性理論，是一級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等多種理論和方法，來實現(xiàn)其穩(wěn)定控制，這些方法都能在倒立擺控制系統(tǒng)上得到實現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明的情況下，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證這種新的控制理論的正確性和實用性。倒立擺系統(tǒng)是一個結(jié)構(gòu)簡單，價格低廉，方便控制的控制裝置，便于模擬操作和數(shù)字實現(xiàn)很多種不同的控制方法，它是一個作為高階次、多變量，不穩(wěn)定、非線性、強耦合的被控對象的快速系統(tǒng)，在控制方面，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩(wěn)定。想要解決控制中的理論問題，和將控制理論所涉及的三個基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)（含計算機）有機的結(jié)合起來，可以通過對倒立擺系統(tǒng)的研究來實現(xiàn)，在倒立擺系統(tǒng)中進行綜合應(yīng)用。作為魯棒控制理論中占有重要地位的一部分，控制理論迄今為止已經(jīng)取得了豐富的研究成果，隨著科學(xué)技術(shù)和理論成果的不斷發(fā)展，在今后控制理論必將成為工程控制領(lǐng)域的研究熱點。此外，近年來應(yīng)用線性矩陣不等式LMI方法求解控制問題在研究中也取得了成果。1989年以后，控制理論發(fā)展進入了理論研究逐步完善和推廣的第三階段。1987年問世的研究控制的書“acourseincontroltheory”是Francis的得意之作，是第一部控制理論專著。1985年至1988年，控制理論發(fā)展的第二階段是控制獲得成功突破的重要階段。逼近方法的基礎(chǔ)是AAK理論，雖然原理上較為復(fù)雜，但在算法上已經(jīng)取得了一定的進展；插值方法通常使用的是Nevanlinna—Pick插值理論，有時候也以矩陣形式的Sarason理論為基礎(chǔ)。第一階段具有概念直觀的特點，不過缺乏科學(xué)的計算方法。綜上所述范數(shù)作為性能指標具備許多的優(yōu)點：(1)研究在有變功率譜干擾時，仍然可以處理系統(tǒng)的控制問題；(2) 稱為范數(shù)的乘法性質(zhì)，使