【正文】 。若給定系統(tǒng)的一個(gè)初始狀態(tài) 0()xt （ 0t 可為 0），如果在 10tt? 的有限時(shí)間區(qū)間 01[ , ]tt 內(nèi)，存在容許控制 ()ut 使 1( ) 0xt? ，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在 0t 時(shí)刻能控的；如果系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)初始狀態(tài) 都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或系統(tǒng)是能控的 [16]。由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于 S 平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=tf(num,den) roots(den) 結(jié)果如下： 14 執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的 Matlab 表示 。 l = 。 I= 。 m = 。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下 ： m 擺桿質(zhì)量 Kg M 小車質(zhì)量 Kg l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/s I 擺桿慣量 m? g 重力加速度 在 Matlab 中， 通過(guò) 拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過(guò)計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。 調(diào)用 MATLAB 函數(shù) 中的 roots(den)或 eig(A)， 即可得出 由 傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng) 或 狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 則 這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題最簡(jiǎn)單 也最常用 的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)， 然后 觀察 其中 13 是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn) (不穩(wěn)定極點(diǎn) )。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 常 應(yīng)用 于 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 若要 設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)， 則必須 要考慮系統(tǒng) 的 能控 性 。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)， 就需要 用到 現(xiàn)代 控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性 以及 能控性判據(jù) [15]。0 0 1 0]； D=[0。0。0 0 0 1。只要將直線一級(jí)倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（ kg? ， ? ， kg? ， 34I kg m??， /b N m s??， /g m s? ）代入上面兩式，得對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣為： A=[0 1 0 0。輸出為角度為 Φ，求解方程組 (210)的第一個(gè) 11 方程，可以得到： )()()(22 ssgmlmlIsX ??????? ??? （ 211） 把式 (211)代入方程組 (210)的第二個(gè)方程，得： )()()()()()()()( 222222 sUssmlssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ????????? ????????? ??? ???? （ 212） 化簡(jiǎn) 整理后得傳遞函數(shù)為： sqb m g lsq m g lmMsq mlIbssqmlsUs??????23242)()()()(? （ 213） 其中， 22( ) ( ) ( )q M m I m l m l??? ? ? ??? （ 214） 由 于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為： x A x B uy C x D u??? ??????? （ 215） 對(duì) x?? ， ??? 解代數(shù)方程， 可 得解如下： 2 2 2 22 2 22 2 2()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )xxI m l b m gl I m lx x uI M m M m l I M m M m l I M m M m lm l b m gl M m m lxuI M m M m l I M m M m l I M m M m l??? ? ???? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ 216） 式 216 為直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。 圖 5 擺桿隔離受力圖 )s in(22 ?lxdtdmN ?? （ 22） 即 ： M F bx? N P mg θ P 10 2c o s s i nN m x m l m l? ? ? ???? ??? ? ? （ 23） 將 等式代入上式中， 可 得系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 為： 2( ) c o s sinM m x b x m l m l F? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 24） 對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可得方程 為 ： 22 ( c os )dp m g m l ldt ?? ? ? （ 25） 即： 2si n c osP m g m l m l? ? ? ????? ? ? （ 26） 力矩平衡方程為： s i n c o sP l N l I? ? ???? ? ? （ 27） 由于 ??? ?? ， cos cos?? ? ? ， sin sin??? ? ， 故等式前面有負(fù)號(hào)。其余字母同圖 3 中的說(shuō)明。 在圖 3 中設(shè)： X 為 小車 的 位移，單位 (m)； ? 為 擺桿與垂直方向的夾角，單位 (rad)； m為 擺桿的質(zhì)量，單位 (kg)； M 為 小車的質(zhì)量，單位 (kg)； l為 擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到擺桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，單位 m； F 為 小車 受到 的作用力，單位 (N)； I 為 擺桿對(duì)重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位 ( 2kgm? )； g 為 重力加速度 ，單位 ( 2/ms)； m M F x bx? θ 0 9 b 為 小車受 到 的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，單位 (N/m/s)； 首先，對(duì)小車進(jìn)行受力分析，如圖 4 所示。 忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可 以 將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組 成的系統(tǒng) ， 如圖 3 所示。這就意味著，機(jī)理建模法對(duì)于倒立擺系統(tǒng)更加合適。 8 就倒立擺系統(tǒng)而言，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，且具有非線性等特性，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)法建模存在一定的困難。 這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容 [13]。實(shí)驗(yàn)法在工程技術(shù)上有很大的用途，它讓研究者省去了對(duì)于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中復(fù)雜、惡劣被控對(duì)象的深入研究，從而讓建模過(guò)程簡(jiǎn)單易行。實(shí)驗(yàn)法一般只用于建立輸入輸出模型，它是根據(jù)輸入和輸出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)行相應(yīng)的處理和計(jì)算后得到系統(tǒng)的模型。這樣，使得該模型既可代表真實(shí)系統(tǒng)的基本特征，又能使仿真工作簡(jiǎn)化和得以實(shí) 現(xiàn)。因此，為了實(shí)現(xiàn)仿真，首先要采用某種方法對(duì)真實(shí)系統(tǒng)進(jìn)行抽象，得到系統(tǒng)模型，其過(guò)程稱為系統(tǒng)建模。 （ 4） 運(yùn)動(dòng)控制器 直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)仿真就是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)模型的分析來(lái)研究真實(shí)系統(tǒng)的特性。當(dāng)動(dòng)物接近靜物時(shí)，開(kāi)關(guān)的連桿驅(qū)動(dòng)開(kāi)關(guān)的接點(diǎn)引起接點(diǎn)分?jǐn)唷?是 作為檢測(cè)轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、線位移、角位移的一種傳感器，精度高 、 可靠 好 ， 因此 應(yīng)用非常廣泛。 通過(guò) 改變控制電壓 來(lái)改 變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。計(jì)算機(jī) 會(huì) 從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取 相應(yīng)的 實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)， 進(jìn)而 確定控制決策（小車 的 運(yùn)動(dòng)方向、移動(dòng) 的 速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，運(yùn)動(dòng)控制卡產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò) 同步皮帶 來(lái) 帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)， 以 保持?jǐn)[桿平衡 [12]。小車的位移、速度信號(hào) 由 光電碼盤 1 反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡 。直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的工作原理 圖 如圖 2 所示。 控制平臺(tái)主要部分組成： （ 1） PC 機(jī)，帶 PCI 總線插槽； （ 2） 運(yùn)動(dòng)控制卡用戶接口軟件； （ 3） 運(yùn)動(dòng)控制卡。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖 1 所示。 第六章 ，總結(jié)與展望， 對(duì)論文工作做總結(jié)，并對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)作了進(jìn)一步展望。 5 第四章 ，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制， 著重介紹 LQR 控制算法并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB 仿真。同時(shí)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測(cè)性。 本文主要章節(jié) 如下： 第一章 ， 緒論 ， 主要介紹一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義、分類、研究現(xiàn)狀、控制方法等并簡(jiǎn)單介紹了 MATLAB 及 Simulink 相關(guān)知識(shí)。 然 后分析 兩 種方法 各自 的優(yōu)缺點(diǎn) ，通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真及分析完成復(fù)合控制器的設(shè)計(jì)。主要研究了直線一級(jí)倒立擺的穩(wěn)擺問(wèn)題，采用反饋 控制 的方法進(jìn)行倒立擺的平衡控制 ， 在平衡點(diǎn)附近切換到線性二次型最優(yōu)控制以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制 。 同時(shí) Simulink 還允許 其他多領(lǐng)域產(chǎn)品擴(kuò)展 其 建模功能 與模塊 ， 有利于用戶的 設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)。 Simulink是用于 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) （線性、非線性） 和 嵌入式系統(tǒng) 的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì) 的理想設(shè)計(jì)平臺(tái) 。 Simulink可以用 各種不同 的采樣時(shí)間 和 多速率系統(tǒng)進(jìn)行建模。它的主要特點(diǎn)有： （ 1）擁有 豐富的 和強(qiáng)大的 模塊庫(kù) ，同時(shí)第三方還可以自行進(jìn)行添加； （ 2） 模塊圖 簡(jiǎn)單且易于管理， 交互式的 GUI（ 圖形用戶界面 ）更加有利于分析； （ 3）利用 層次性的設(shè)計(jì)功能來(lái)分割 設(shè)計(jì) 模型， 可以 實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜 系統(tǒng) 設(shè)計(jì)的管理 ； （ 4） 通過(guò)導(dǎo)航、創(chuàng)建、配置、搜索模型中的任意信號(hào)、參數(shù)、屬性，生成模型代碼 ； （ 5） 提供 API方便于 其他仿真程序的連接或與手寫代碼集成 ，尤其是第三方工具箱的編寫； （ 6） 使用 Embedded MATLAB模塊在 Simulink和嵌入式系統(tǒng)執(zhí)行中調(diào)用 MATLAB算法 。 本文所應(yīng)用到的就是由固高公司所開(kāi)發(fā)的硬件和 Simulink自定義工具箱。 Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程 簡(jiǎn)單 清晰及仿真精細(xì)、效率高、靈活 多變 等優(yōu)點(diǎn)， 目前 Simulink已被廣泛應(yīng)用于 控制理論 、 數(shù)字信號(hào)處理 和動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng) 的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì) [8]。 它提供 了 一個(gè) 完整 的集成環(huán)境 ，具有很高的理論研究分析意義 。 Simulink 簡(jiǎn)介 Simulink是 MATLAB最重要的組件之一， 也是使用最頻繁的組件之一。同時(shí) MATLAB可以進(jìn)行眾多的程序編寫、計(jì)算和仿真的功能，在工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)檢測(cè)、等領(lǐng)域具有很強(qiáng)的應(yīng)用型，極大方便了人們的設(shè)計(jì)。它將很多強(qiáng)大的功能集成在一個(gè)便于使用的視窗軟件平臺(tái)中，例如：數(shù)值分析、矩陣計(jì)算以及非線性動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等。比如模糊自適應(yīng)控制，分散魯棒自適應(yīng)控制等 。主要是確定模糊規(guī)則，設(shè)計(jì)出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制。對(duì)倒立擺的物理模型進(jìn)行分析，建立起倒立擺的動(dòng)力 學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識(shí)推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，最后應(yīng)用狀態(tài)反饋的方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制 [6]。分析倒立擺的物理模型，以此來(lái)建立倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，然后使用狀態(tài)空間理論知識(shí)推導(dǎo)出非線性模型，再在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，這樣就可以設(shè)計(jì)出相應(yīng)的 PID 控制器實(shí)現(xiàn)其控制。20xx 年國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)利用基于 LQR的模糊插值 成功的 實(shí)現(xiàn)了 對(duì) 五級(jí)倒立擺 系統(tǒng) 的控制 [5]。 倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級(jí)，二級(jí)，三級(jí)倒立擺等，多級(jí)擺的擺桿之間屬于自由連接（即無(wú)電動(dòng)機(jī)或其他驅(qū) 動(dòng)設(shè)備）。 由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機(jī)器人、各類伺服云臺(tái)穩(wěn)定 以及 火箭飛行控制 存在 很 多的共同點(diǎn) ，因此對(duì)倒立擺控制 系統(tǒng) 的研究具有重要的理論和實(shí)踐意義 [4]。 （ 4） 偵察衛(wèi)星中攝像機(jī)的穩(wěn)定 控制 。 （ 2） 火箭等飛行器飛行過(guò)程中 的 實(shí)時(shí)控制。因此，倒立擺系統(tǒng)在 現(xiàn)代 控制理論 的 研究中是一種較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置 [3]。目前，對(duì)倒立擺 系統(tǒng) 的研究已經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注，是控制領(lǐng)域研究的熱門課題之一 [2]。通過(guò)對(duì)它的研究可以解決控制中的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，還能將控制理論涉及的主要基礎(chǔ)學(xué)科進(jìn)行有機(jī)的綜合應(yīng)用。 （ 5） 約束限制 ， 由于實(shí)際機(jī)構(gòu)的限制，小車很容易出現(xiàn)撞邊現(xiàn)象。 （ 3） 耦合性 ， 倒立