【正文】 結(jié)構(gòu)的長方矩陣， G 表示其他結(jié)構(gòu)矩陣）和一個 “附加 ”的結(jié)構(gòu)矩陣（類似于 lmivar 中的 struct）來刻畫的。 線性矩陣不等式編輯器 ——LIMEDT 線性矩陣不等式編輯器 “LIMEDT”是一個圖形用戶界面，它可以按符號方式直接確定線性矩陣不等式系統(tǒng)。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進(jìn)行數(shù)值求解。 工具箱介紹 線性矩陣不等式（ LMI）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性能軟件包。基于 LMI 方法研究的通常做法是 :將系統(tǒng)與控制理論中的各類問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題 ,以達(dá)到求解的目的。目前，大 部分 V 函數(shù)的構(gòu)造，都是用這種試探湊合法。 V 函數(shù)法 先試探構(gòu)造出正定 的函數(shù) V （或變號 V ），然后沿系統(tǒng)解對函數(shù) V 求導(dǎo)數(shù) dVdt ，看條件能否保證 dVdt 負(fù)定、半負(fù)定。 V 函數(shù)法 先設(shè)計(jì) dVdt 負(fù)定（或半負(fù)定），然后積分求出 V ，來看 V 是否正定。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) ? ?,Vxt ： 1) ? ?,V xt? 為正定的，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的； 2) 若 ? ?,V xt? 為非負(fù)定（不包括半負(fù)定）的，且對任意的 0t 和任意的 ? ?0 0xt? ，? ?,V xt? 在 0tt? 時不恒為零，那么該平衡態(tài) 0x 也是不穩(wěn)定的。如果存在一個滿足下述條件的有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù)? ?,Vxt ： 1）若 ? ?,V xt? 為負(fù)定的 ,則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的； 2）再者，隨著 x?? ，有 ? ?,V x t ?? ，那么該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 隨著 x?? 有 ? ?,V x t ?? ，當(dāng)前情況下系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定平衡態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 （ a）穩(wěn)定性定理 將目標(biāo)系統(tǒng)狀態(tài)方程設(shè)為 ? ?,x f x t?? ，且 0 0x? 是它的平衡態(tài)。 穩(wěn)定性定理 Lyapunov 直接法 [13]（即第二法）探討的是一個二維自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性，經(jīng)過提煉概括合理分析語言，在原始幾何思想的基礎(chǔ)之上，給出了一條穩(wěn)定性定理、一條漸近穩(wěn)定性定理和兩條不穩(wěn)定性定理。 假設(shè)以下微分方程 ? ? ? ?00, , , ndx f t x x t x x Rdt ? ? ? （ ） 滿足 “解存在唯一 ”這個條件，它的解 ? ? ? ?00,x t x t t x? 的存在區(qū)間是 ? ? ? ?, , , xf t t?? ??還滿足條件： ? ?,0 0ft? （ ） 保證了 x(t)=0 是（ ）式的解，我們稱它為 “零 ”解。這表明 0a 時式中的 “零 ”解是穩(wěn)定的。當(dāng) 0a 時，不管 0x 有多小，在 t??? 時，如果 0 0x ? ，始終有 ? ?xt?? ，也就是說初始值的微小變化極大的影響了解的誤差，而當(dāng) 0a 時， ? ? 0 atx t x e? ，與 “零 ”解的誤差不超過初始誤差 0x ，北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 7 且隨著 t 值增加很快消失。特別適合用于研究屬于 “力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法 ”。 穩(wěn)定性理論概述 如今，廣泛的應(yīng)用于自動控制、生化反應(yīng)、生態(tài)生物、航空技術(shù)等工程技術(shù)和自然科學(xué)方面的穩(wěn)定性理論，是 19 世紀(jì) 80 年代俄國數(shù)學(xué)家 Lyapunov 創(chuàng)建的。一 級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。倒立擺系統(tǒng)可以用 PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等多種理論和方法，來實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，這些方法都能在倒立擺控制系統(tǒng)上得到實(shí)現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明的情況下，可以考慮通過倒立擺裝置來驗(yàn)證這種新的控制理論的正確性和實(shí)用性。 在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 6 第二章 預(yù)備知識 倒立擺控制系統(tǒng)概述 在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是在工程實(shí)踐中，存在一種可行性的試驗(yàn)問 題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗(yàn)，倒立擺裝置作為一個從控制理論通往實(shí)踐的橋梁，在自動控制理論中倒立擺裝置是各界學(xué)者公認(rèn)的典型教學(xué)設(shè)備，是控制理論教學(xué)中具有代表性的被控科研對象，通過實(shí)施控制手段發(fā)揮控制系統(tǒng)的性能，可使之具有良好的穩(wěn)定性。 H? 控制問題的純時域解法除了能夠解決系統(tǒng)的 H? 線性時不變問題，還可以用來處理非線性系統(tǒng)、 時變系統(tǒng)、奇異攝動系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)等的 H? 控制問題。在這段飛速發(fā)展的時期里，標(biāo)準(zhǔn) H? 控制問題解法的研究成果層出不窮，有 Green 等的J 譜分解方 法、 H? 控制問題解法、 Kimura 的基于 ? ?,JJ? 無損分解理論以及微分對策方法、極大值原理方法等幾種純時域解法。翌年，在全美控制年會上美國控制領(lǐng)域著名學(xué)者 Doyle 和英國學(xué)者 Glover 等發(fā)表了著名的 “2Riccati 方程 ”解法，這一成果的問世證明了 H? 控制問題可以通過求解兩個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)黎卡提方程來得到。在此期間發(fā)現(xiàn)許多控制問題都可統(tǒng)一于標(biāo)準(zhǔn) H? 問題，包括靈敏度極小化問題、混合靈敏度優(yōu)化問題、兩自由度問題、濾波問題、魯棒鎮(zhèn)定問題、跟蹤問題和模型匹配問題等。通常所說的 “1984年方法 ”是當(dāng)時 Doyle 和 Glover 等人在 Honeywell 公司的 H? 控制研討會上，對 H? 控制理論進(jìn)行總結(jié)，從而形成的。 1981 年到 1984 年期間，逼近法和插值法是研究 H? 控制理論的主要使方法。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 5 H? 控制理論的 發(fā)展過程是漫長的，可以系統(tǒng)的描述為三個階段。有限輸入能到輸出能的最大增益可以用傳遞函數(shù)的 H? 范效來進(jìn)行描述，所以對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)用影響傳遞函數(shù)的正細(xì)范數(shù)來表示，就可以將有限功率譜干擾對影響系統(tǒng)期望輸出的成都降到最低。對于一個單輸入、輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)：這類問題屬于一個特殊的干擾信號，存在于有限能量 的信號集中。由于上述原因，導(dǎo)致 LQG 設(shè)計(jì)方法在理論上做得相當(dāng)成熟，卻不能有效的投入到實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中。原因可歸結(jié)為兩個方面。在 20 世紀(jì)六十年代，狀態(tài)空間方法長足發(fā)展，后來被稱為現(xiàn)代控制理論出現(xiàn)在文獻(xiàn)中，以 KalmanBucy 濾波器和最優(yōu)二次調(diào)節(jié)理論為基礎(chǔ)的 LQG 反饋設(shè)計(jì) ( H? 控制 )方法相繼問世。因而傳統(tǒng)控制理論與實(shí)際工程應(yīng)用之間的契合存在較大的差距。 ? 控制理論 任何的控制理論和方法，都要求控制對象的精確模型或要求對象模型的不確定性和外界干擾滿足特殊的假定。倒立擺是一個典型研究對象，它能夠有效的驗(yàn)證控制理論的正確性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性，是理論研究和創(chuàng)新的試金石。雖然在倒立擺中還沒有充分展開魯棒控制算法的研究工作，但根據(jù)已有的一些研究成果進(jìn)行推斷，面向不確定性的研究對象將成為魯棒控制領(lǐng)域不變的發(fā)展方向。 簡單地說，魯棒控制處理的是具有不確定性的被控對象，包括模型參數(shù)變化 、外北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 4 部擾動、模型與實(shí)際系統(tǒng)差異和執(zhí)行器的誤差等等。同年， Doyle 和 Stein 提出了在頻域內(nèi)進(jìn)行回路成形，使得控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中的許多性能指標(biāo)，包括魯棒穩(wěn)定性問題都可以表達(dá)為特定閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣 H?的范數(shù)。尤其是 1981 年，魯棒 H? 控制理論框架基本形成，且提出了最優(yōu)靈敏度控制方法 [12]。 Nyquist 判據(jù)在多變量系統(tǒng)中的推廣、 Youla 參數(shù)化方法和有理函數(shù)矩陣分解等基礎(chǔ)理論的進(jìn)展直接影響著魯棒控制的發(fā)展。 1971 年 Davion 的論文中首次出現(xiàn)了魯棒控制理論的說法 [10]，而首先將魯棒控制寫進(jìn)論文標(biāo)題是從 1974 年 Pearson 等人開始的 [11]。到了 20 世紀(jì)七十年代的時候，魯棒控制初步的推廣了 MIMIO 成 果，將 SISO 系統(tǒng)的靈敏度分析結(jié)果進(jìn)行有效利用 [7]，另一方面，魯棒控制問題的重要性在控制論領(lǐng)域引入狀態(tài)空間理論后，進(jìn)一步發(fā)展、完善了系統(tǒng)控制。由于魯棒控制的早期研究主要研究在系統(tǒng)的不確定性是微小的參數(shù)攝動情形，尚屬靈敏度分析的范疇，具有廣泛的局限性。按照時間的先后順序，首先是 1932年 Nyquist 提出的基于 Nyquist 曲線的頻域穩(wěn)定性判據(jù)，闡述了反饋增益和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，使魯棒控制原理變得清晰明了。所以對倒立擺控制理論的研究有豐富的工程價值。 (4)海上勘探石油鉆井平臺的穩(wěn)定性控制應(yīng)用倒立擺原理，為了使鉆孔方向垂直，必須能自動地保鉆井平臺的穩(wěn)定，消除大幅震動。 (2)利用倒立擺控制系統(tǒng)的實(shí)時控制能夠使宇宙飛船等飛行器在飛行過程中，保北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 3 持正確 的姿態(tài)。 90 年代以后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺的研究取得成功，突破了傳統(tǒng)控制思想的桎梏，開啟了一個全新的領(lǐng)域，取得了許多重要成果。早期的研究以直線倒立擺建模和擺桿控制為主線，也就是一直被關(guān)注的鎮(zhèn)定問題。幾年后，倒立擺就被作為一個典型的不穩(wěn)定、非線性系統(tǒng)而提出。當(dāng)時 Cannon 等人應(yīng)用 BangBang 控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置研究平衡控制問題。未來，在工程實(shí)際中，特別是平衡控制領(lǐng)域，倒立擺的應(yīng)用將越來越廣泛。其它一些生產(chǎn)廠家還包括（韓國）奧格斯科技發(fā)展有限公司（ FT4820 型倒立擺）、保定航空技術(shù)實(shí)業(yè)有限公司等。目前，在專家和學(xué)者的不斷研究及創(chuàng)新下出現(xiàn)了不少成果，各式各樣類型倒立擺相繼問世。而在中國也有主要的三所高校：北師大、北航 [3]和中科大 [4]。例如：代步車運(yùn)行過程中的平衡控制和高精度零件的加工；航空對接控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制；飛機(jī)安全著陸、起重平臺的穩(wěn)定控制和航空運(yùn)載的姿態(tài)控制；海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、造船領(lǐng)域控制等。試圖描述被控對象模型的不確定性是魯棒控制的核心，且能估計(jì)達(dá)到控制目標(biāo)所留有 的自由度，即使在某些特定界限下 [2]。魯棒控制卻能夠?qū)崿F(xiàn)這些目標(biāo)。由于大多數(shù)的工程系統(tǒng)都在變化的環(huán)境中運(yùn)行，系統(tǒng)不確定性是普遍存的，不可能用精確的數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)中的動態(tài)特性，這是不現(xiàn)實(shí)的。 理論是工程的先導(dǎo)，倒立擺控制 系統(tǒng)提供一個橋梁使控制理論通過實(shí)踐不斷應(yīng)用于工程領(lǐng)域。一次繼續(xù)研究倒立擺控制系統(tǒng)一來可以解決控制中的理論性問題，二來也能將控制理論涉及的相關(guān)主要學(xué)科進(jìn)行綜合應(yīng)用，如：數(shù)學(xué)、機(jī)械、電學(xué)、計(jì)算機(jī)和力學(xué)等。最初分析研究倒立擺控制系統(tǒng)是在二十世紀(jì)的五十年代 ，它是穩(wěn)定控制中控制理論應(yīng)用的一個典型范例， 是一個多變量、不穩(wěn)定、具有非線性和強(qiáng)耦合特性的比較復(fù)雜的高階機(jī)械系統(tǒng)。 一種控制理論的正確性和在實(shí)際應(yīng)用中的可行性的驗(yàn)證，在控制理論發(fā)展的過程中，通常是將一個按其理論設(shè)計(jì)的控制器用于控制一個典型對象進(jìn)而根據(jù)結(jié)果驗(yàn)證這一理論。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實(shí)踐，并且可以促成相互間的有機(jī)結(jié)合。所以，倒立擺原理的深入研究具有重要的理論和實(shí)際意義，也必將成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。此外，它 的控制方法在航天航空、軍工、機(jī)器人以及一般的工業(yè)過程中具有廣泛的應(yīng)用，如運(yùn)載火箭在發(fā)射時的垂直度控制、各種機(jī)器人行走過程中的平衡控制和太空中衛(wèi)星飛行所需的姿態(tài)控制等。深入研究倒立擺控制系統(tǒng)能有效的反映工程控制中 的許多典型問題：例如魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題、跟蹤問題以及非線性問題等 [1]。 based on the theory of LMI (linear matrix inequality method) proposed non fragile sufficient conditions for the existence of robust H? controller, using the MATLAB LMI toolbox to solve the characteristics of the controller values. In the design of state feedback controller, the method of solving Riccati equation is adopted.. As for generalized controlled object, the evaluation index of the identified has bee the key to the system design. Therefore, this paper considers all aspects of the problem, bined with the actual situation, in the theoretical analysis and the simulation process repeated verification, obtained the reasonable parameters, guarantee the design the state feedback controller is reasonable and effective. Keywords: H? control, inverted pendulum, state feedback, ADAMS simulation, LMI method. 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 目 錄 第一章 引言 ......................................