【導(dǎo)讀】論上和方法上都有其重要意義。倒立擺的研究不僅要追求增加擺的級(jí)數(shù)，而且更重要。同時(shí),它和火箭的姿態(tài)控制以及步行機(jī)器人的穩(wěn)定控。制有很多相似之處，由此研究產(chǎn)生的理論和方法對(duì)一般工業(yè)過(guò)程也有廣泛用途。倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成和原理作了簡(jiǎn)要介紹。為研究多級(jí)和其它類(lèi)型的倒立擺甚至更高層次的控制策略奠定了一個(gè)良好的基礎(chǔ)。系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性、可控性分析。本文主要研究設(shè)計(jì)用PID控制、LQR最優(yōu)控制和極。點(diǎn)配置控制方法對(duì)一級(jí)倒立擺進(jìn)行穩(wěn)定控制。在這過(guò)程中，借助數(shù)學(xué)工具。擺桿與豎直方向的夾角rad

　　

【正文】 Controller”模塊后出現(xiàn)的如圖 K。 直線小車(chē)一級(jí)倒立擺控制策略研究 22 圖 圖 K的修改界面 “ Real Control”是直線一級(jí)倒立擺的硬件驅(qū)動(dòng)部分，雙擊“ Real Control”可以看到其具體的結(jié)構(gòu)如圖 所示。其中，“ Pendulum”是一級(jí)倒立擺對(duì)象， 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 圖 Real Control 模塊結(jié) 構(gòu)圖 圖 Pendulum的內(nèi)部組成 雙擊其可以看到如圖 所示的組成模塊?？梢钥闯觥?Pendulum”是由 GT 400－ SV Block Library”模塊庫(kù)的基本模塊搭建而成的。此模塊將控制算法的結(jié)果包括理論運(yùn)算的速度“ Vel”和加速度“ Acc”輸入運(yùn)動(dòng)控制板卡，同時(shí)輸出小車(chē)的位置“ Pos”和擺桿的角度“ Angel”，而小車(chē)的速度和擺桿的角速度利用一階差分的方法計(jì)算得到。 直線小車(chē)一級(jí)倒立擺控制策略研究 24 倒立擺 控制方案 的確定 對(duì) 一 級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制的基本目的是為 ： 和穩(wěn)態(tài)的性能良好，特別是 ： (1)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過(guò)程迅速振蕩不要過(guò)甚。 (2)能很好地改善穩(wěn)態(tài)時(shí)的擺動(dòng)現(xiàn)象。 由 節(jié)分析可知，倒立擺是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控和完全能觀的。根據(jù)線性系統(tǒng)控制理論，完全能控和完全能觀的系統(tǒng)可以通過(guò)對(duì)狀態(tài)反饋矩陣的適當(dāng)選擇，使系統(tǒng)的極點(diǎn)按性能指標(biāo)得到任意的配置，所以倒立擺系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)是能夠穩(wěn)定的。狀態(tài)反饋所需要的全部狀態(tài)可以通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器獲得。具體選擇控制方案時(shí)的基本思想為 :在保證達(dá)到上述的兩個(gè)控制前提下，控制器的設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，容易實(shí) 現(xiàn)，并應(yīng)有較好的魯棒性。具體的控制方案確定為 ： ，反饋增益應(yīng)用最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論或者極點(diǎn)配置理論算出。 狀態(tài) 觀測(cè)器重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)。 倒立擺控制器的設(shè)計(jì) 控制器的設(shè)計(jì) PID（比例－積分－微分）控制是一種簡(jiǎn)單而又優(yōu)秀的控制方法，在生產(chǎn)過(guò)程自動(dòng)化控制的發(fā)展歷程中， PID 控制是一種歷史最悠久、生命力最強(qiáng)的基本控制方法。PID 控制器作為最早實(shí)用化的控制器已有 50 多年的歷史，并且直到現(xiàn)在仍然是應(yīng)用最廣泛的工業(yè)控制器。在 PID 中因?qū)⑵畹谋壤?P）、積分（ I）和微 分（ D）通過(guò)線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱(chēng) PID 控制器，其原理圖如圖 所示。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 圖 PID控制系統(tǒng)原理圖 PID 控制以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來(lái)確定，這時(shí)應(yīng)用 PID 控制技術(shù)最為方便。即當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象，或不能通過(guò)有效的測(cè)量手段來(lái)獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用 PID 控制技術(shù)。 PID 控制具有 以下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）原理簡(jiǎn)單，使用方便， PID 參數(shù)可以根據(jù)過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性及時(shí)整定。 （ 2）適應(yīng)性強(qiáng)，按照 PID 控制規(guī)律進(jìn)行工作的控制器早已商品化，使得其的應(yīng)用范圍十分廣泛。雖然很多被控對(duì)象是非線性的或時(shí)變的，但是通過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，可以將其變成基本線性和動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，這樣就可以通過(guò) PID控制了。 （ 3）魯棒性強(qiáng)，即其控制品質(zhì)對(duì)被控對(duì)象特性的變化不太敏感。同時(shí) PID 控制也具有其固有的缺點(diǎn)： PID 在控制非線性、時(shí)變、耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的復(fù)雜過(guò)程時(shí)，效果不是很好。雖然 PID 控制具有以上缺點(diǎn)，但是其 仍因其自身的優(yōu)點(diǎn)而得到了最廣泛的應(yīng)用， PID 控制規(guī)律仍是應(yīng)用最普遍的控制規(guī)律。 PID 控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定 rin(t)與實(shí)際輸出值 yout(t)構(gòu)成控制偏差： ? ? ? ? ? ?e t ri n t y out t?? () 直線小車(chē)一級(jí)倒立擺控制策略研究 26 PID 的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ? ? ?01 t Dep It T d tu t K e t e t d tTd??? ? ?????? () 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式： ? ? ? ?? ? 11PDIUsG s K T sE s T s??? ? ? ????? () 式中， PK 為比例系數(shù)； IT 為積分時(shí)間常數(shù)； DT 為微分時(shí)間常數(shù)。 PID 控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)的作用如下： （ 1）比例環(huán)節(jié)：成比例的反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào) e(t)，控制器立即就產(chǎn)生控制作用，使被 PID控制的對(duì)象朝著使偏差減小的方向變化。其控 制作用的強(qiáng)弱取決于比例系數(shù) PK 的大小 , PK 值越大則過(guò)渡過(guò)程越短，控制結(jié)果的靜態(tài)偏差也越小。加大PK 雖然可以減小偏差，但是 PK 過(guò)大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的超調(diào)量增大或產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，最終使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差。 （ 2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無(wú)差度。從積分環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，只要存在偏差，其就會(huì)不斷增加。積 分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)IT 的大小， IT 越大則積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。當(dāng) IT 較大時(shí)，積分作用較弱，這時(shí)系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中不易產(chǎn)生震蕩，但是過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)；當(dāng) IT 較小時(shí)，積分作用較強(qiáng)，這時(shí)過(guò)渡時(shí)間較短，但是有可能產(chǎn)生震蕩。 （ 3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)（變化速度），并能在偏差信號(hào)變得太大之前，在系統(tǒng) 中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間。微分部分作用的強(qiáng)弱由微分時(shí)間常數(shù) DT 的大小決定， DT 越大則抑制偏差變化的作用越強(qiáng)，反之則越小。同時(shí) DT 的大小對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有很大的影響。 倒立擺 PID 控制模型 對(duì)于倒立擺控制系統(tǒng)在給系統(tǒng)施加脈沖擾動(dòng)，輸出量為擺桿的角度，同時(shí)擺桿的平衡位置為垂直向上的情況時(shí)，其系統(tǒng)框圖為： 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 27 圖 該系統(tǒng)的輸出為： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?( ) ( )11numGs d e ny s F s F sn u m P I D n u mK D s G sd e n P I D d e n???? () 化簡(jiǎn)后可以得到： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?() n u m d e n P I Dy s F sd e n P I D d e n n u m P I D n u m? ? () 其中， num—— 被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) den—— 被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numPID—— PID 控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) denPID—— PID 控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 在第三章已經(jīng)得到倒立擺的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，輸入為小車(chē)的加速度，輸出為擺 桿的角度，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為： ? ? ? ?? ? ? ?22s mlGs Vs I m l s m g l??? ?? () 將第三章 ： 直線小車(chē)一級(jí)倒立擺控制策略研究 28 ? ? ? ?? ? 20 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sGs V s s??? ? () 在第四章的 節(jié)推導(dǎo)出了 PID控制器的傳遞函數(shù)為： ? ? 211 P I D P I PPD II K T T s K T s K n u m P I DK D s K T sT s T s d e n P I D?? ??? ? ? ? ????? () 同 時(shí)小車(chē)的位置 X(s)可以通過(guò)對(duì)控制量 V(s)即小車(chē)的加速度求雙重積分得到：? ? ? ? 2X S V s s? 通過(guò) MATLAB 仿真來(lái)整定 PID 控制器的參數(shù) PID 控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。它是根據(jù)被控過(guò)程的特性確定 PID 控制器的比例系數(shù)、積分時(shí)間和微分時(shí)間的大小，使得自動(dòng)控制系統(tǒng)工作在最佳的狀態(tài)。從 PID 控制器的三個(gè)參數(shù)的作用可以看出三個(gè)參數(shù)直接影響控制效果的好壞，所以要取得較好的控制效果，就必須對(duì)比例、積分、微分三種控制作用進(jìn)行調(diào)節(jié)?？傊?，比例主要用于偏差的粗 調(diào)；保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)；積分主要用于偏差的細(xì)調(diào)，保證控制系統(tǒng)的準(zhǔn)；微分主要用于偏差的細(xì)調(diào)，保證控制系統(tǒng)的快速性。 PID 控制器參數(shù)整定的方法很多，概括起來(lái)有兩大類(lèi) 理論計(jì)算整定法，主要是依據(jù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)理論計(jì)算確定控制器參數(shù)。這種方法所得到的計(jì)算數(shù)據(jù)未必可以直接用，還必須通過(guò)工程實(shí)際進(jìn)行調(diào)整和修改。同時(shí)理論計(jì)算整定法必須知道控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，還需要用到控制理論和數(shù)學(xué)方面的相關(guān)知識(shí)，比較復(fù)雜，不易被工程技術(shù)人員所掌握。因此，理論計(jì)算整定法在實(shí)際中應(yīng)用不是很廣泛。 工程整定方法，主要依賴(lài)工程經(jīng)驗(yàn)， 直接在控制系統(tǒng)的試驗(yàn)中進(jìn)行，并且不需要獲得調(diào)節(jié)對(duì)象的準(zhǔn)確動(dòng)態(tài)特性。因其方法簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、易于掌握，所以在工程實(shí)際中被廣泛采用。 PID 控制器參數(shù)的工程整定方法，主要有穩(wěn)定邊界法、 4： 1衰減法、魯棒 PID參數(shù)整定法和 ISTE（ Integral Squared Time－ weighted Errors）最優(yōu)參數(shù)整定法。這四種方法各有其特點(diǎn)，穩(wěn)定邊界法和 4： 1衰減法的上升時(shí)間短、調(diào)節(jié)過(guò)程快；而魯棒 PID 參數(shù)整定法和 ISTE 最優(yōu)參數(shù)整定法超調(diào)量小，調(diào)節(jié)過(guò)程比較平穩(wěn)，魯棒性好。這四種方法中，穩(wěn)定邊界法簡(jiǎn)單方便、易于掌 握； 4： 1 衰減法沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 29 超調(diào)量大，在一些特殊情況下，可能得不到 4： 1 衰減比時(shí)的比例度和操作周期，有一定的局限性，此外其魯棒性也差； ISTE 調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)；魯棒 PID 參數(shù)整定法在被控對(duì)象的有關(guān)工程參數(shù)比較準(zhǔn)確時(shí)，該法整定的參數(shù)就比較偏保守。通過(guò)對(duì)以上四種PID參數(shù)整定方法的比較，可以看到，控制系統(tǒng)的快速性和魯棒性是相互矛盾和相互制約的。這四種方法的共同點(diǎn)都是通過(guò)試驗(yàn)，然后按照工程經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行整定。但無(wú)論采用哪一種方法所得到的控制器參數(shù)，都需要在實(shí)際運(yùn)行中進(jìn)行最后調(diào)整與完善 環(huán)境下 PID 參數(shù)的整定 在 PID 參數(shù)整定中，工程整定法因其固有的優(yōu)點(diǎn)而受到廣大工程技術(shù)人員的歡迎。同時(shí)工程整定法中的穩(wěn)定邊界法由于簡(jiǎn)單易行而仍在廣泛的使用，但是穩(wěn)態(tài)邊界法在常規(guī)的實(shí)驗(yàn)中還是有其固有的弱點(diǎn)，如在做實(shí)驗(yàn)時(shí)必須把控制系統(tǒng)調(diào)到等幅震蕩，這樣就可能會(huì)影響實(shí)驗(yàn)設(shè)備受到損壞。此時(shí)，我們就想到利用軟件仿真的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì) PID 參數(shù)的整定，而 MATLAB/Simulink 就給我們提供了一個(gè)良好的軟件平臺(tái)。下面我們?cè)?MATLAB/Simulink 仿真環(huán)境下整定倒立擺控制系統(tǒng)的 PID參數(shù)。根據(jù)上面的分析，很容易建立如下的倒立 擺的 PID控制的框圖。 圖 PID控制框圖 根據(jù)以上的控制框圖，代入倒立擺系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和 MATLAB/Simulink 中已有的 PID 控制模塊，我們可以建立如下的輸入信號(hào)為階越函數(shù)的仿真模型，并通過(guò)觀直線小車(chē)一級(jí)倒立擺控制策略研究 30 察擺桿的角度隨時(shí)間變化的曲線來(lái)整定 PID 控制器的參數(shù)。 圖 MATLAB/Simlink 下的仿真模型 對(duì)式（ ）所描述的 PID控制器的傳遞函數(shù)： ? ? 1PP P DIKK D s K K K sTs? ? ? () 令 ,PP P i d P DIKK K K K K KT? ? ?,則上式可以簡(jiǎn)化為： ? ? idP KK D s K s K s? ? ? () 使用穩(wěn)定邊界法整定參數(shù)的步驟如下： 將控制器的積分系數(shù) DK 和微分系數(shù) IK 均設(shè)置為 0，比例系數(shù) PK 設(shè)置為最小的值，使系統(tǒng)投入穩(wěn)定運(yùn)行。 逐漸增大比例系數(shù) PK ，直到系統(tǒng)出現(xiàn)等幅震蕩，并記錄下此時(shí)的臨界震蕩增益 K 和臨界震蕩周期 T。 根據(jù) K 和 T 的值，采用上述表 的經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算出調(diào)節(jié)器的各個(gè)參數(shù)，即 PK 、 IK 和 DK 的值。 沈陽(yáng)航空航天大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 31 表 穩(wěn)定邊界法參數(shù)整定的計(jì)算公式 穩(wěn)定邊界法整定的第一步是獲取系統(tǒng) 的等幅振蕩曲線，在 MATLA