【導讀】時又是能控的和能觀的。基于此本文設(shè)計了直線倒立擺系統(tǒng)的機械本體部分，研。于像倒立擺這樣的非線性模型，通過對其數(shù)學模型的建立，設(shè)計相應(yīng)的控制器,并對其實現(xiàn)控制是可行的。

　　

【正文】 定狀態(tài)僅僅由 它 們的參數(shù)選擇決定。 在 PID 控制算法中，比例系數(shù) Kp 主要影響超調(diào)量和響應(yīng)時間，積分系數(shù) Ki 主要影響靜差和超調(diào)量，微分系數(shù) Kd 主要影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。其中，若初始位置較大， Kp 必須有很大的改動才能明顯看出擺桿運動曲線的變化，積分系數(shù) Ki 也一樣，微分系數(shù) Kd 則相對于 Kp、 Ki 只要有很小的變 化就可以使擺桿運動曲線產(chǎn)生明顯變化。三個系數(shù)過大或過小都會使系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散，為了達到理想的控制效果需要根據(jù)調(diào)節(jié)者的經(jīng)驗，不斷調(diào)整得到。 LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是 Q， R 矩陣 ， 其中 R 矩陣常設(shè)定為 1， 可以參考已有的擺桿運動曲線根據(jù)其規(guī)律進行調(diào)節(jié)。 極點控制算法中控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能指標很大情況上取決于其閉環(huán)系統(tǒng)的零極點分布情況，根據(jù)極點計算出最佳的狀態(tài)反饋矩陣 K。取不同的極點對應(yīng)不同的狀態(tài)反饋矩陣，不同的控制效果。極點的選擇沒有什么規(guī)律，一般必須同時有實部和虛部否則系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 總的來說，三種控制方法都可以實現(xiàn)直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制且控制效果非常好， PID 控制中擺桿的角度與角速度、小車位置及速度控制效果較好；而LQR 控制中可以比較好地控制住擺桿且響應(yīng)速度較快超調(diào)量較小，但是對小車的控制效果卻稍差些。 PID 中須根據(jù)調(diào)節(jié)者的經(jīng)驗參考初始位置進行調(diào)整，初學者比較費時費力。 LQR 中 Q 矩陣的選定可根據(jù)其擺桿的運動曲線及要求進行相應(yīng)調(diào)整，調(diào)節(jié)過程有規(guī)律容易掌握。極點配置法中需要不斷改變其極點位置才可畢業(yè)設(shè)計（論文） 23 以實現(xiàn)其最佳的控制效果，調(diào)整略微復雜。 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 24 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的 建模分析與仿真 二級倒立擺模型的分析 為簡化系統(tǒng)， 我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認為擺桿為剛體。二級倒立擺的組成如圖 所示： 圖 直線二級倒立擺物理模型 系統(tǒng)模型各相關(guān)參 數(shù)定義如表 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 利用拉格朗日方程推導運動學方程： ( , ) ( , ) ( , )L q T q V qq q? ? ??? （ ） 式 （ ） 中 L 為 拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標， T 為系統(tǒng)動能， V 為系統(tǒng)勢能。拉格朗日方程由廣義坐標 qi 和 L 表示為： 參數(shù) 名稱 實際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg 1m 擺桿 1 的質(zhì)量 Kg 2m 擺桿 2 的質(zhì)量 Kg 3m 質(zhì)量塊的質(zhì)量 Kg 1l 擺桿 1 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 2l 擺桿 2 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 1θ 擺桿 1 與豎直方向的夾角 / rad 2θ 擺桿 2 與豎直方向的夾角 / rad r 小車的位置 / M F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N g 重力加速度 m/ 2s 畢業(yè)設(shè)計（論文） 25 qid L L fidt qi??????? （ ） 其中 i =1,2,3……n ， fi 為系統(tǒng)在 i 個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標分別為 ,12x?? 。 首先計算系統(tǒng)的動能： 1 2 3m m m mT T T T T? ? ? ? （ ） 式（ ）中1 2 3, , ,m m mT T T分別為小車的動能，擺桿 1 的動能，擺桿 2 的動能和質(zhì)量塊的動能。 小車的動能： 212MxTm ?? （ ） 由式（ ）可得： 39。 39。39。1 1 1T T Tm m m?? 其中 39。1mT ， 39。39。1Tm 分別為擺桿 1 的平均動能和轉(zhuǎn)動動能。 39。 39。39。2 2 2T T Tm m m?? 其中 39。2mT ， 39。39。2Tm 分別為擺桿 2 的平均動能和轉(zhuǎn)動動能。 對于系統(tǒng)，可設(shè)以下變量： Xp1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標； Xp1 擺 桿 1 質(zhì)心縱坐標； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標； Xm 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標； Ym 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標。又： 11111 sin1 cosXp x lYp l ?????? ?? （ ） 1 1 2 21 1 2 22 2 sin sin2 2 c os c osX p x l lY p l l????? ? ??? ??? （ ） 11112 sin2 cosXm x lYm l ?????? ?? （ ） 則有： 2211 ( 1 ) ( 1 )39。 (( ) ( ) )1 2 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 畢業(yè)設(shè)計（論文） 26 211139。39。 21 1 1 126T J m lmp ?????? （ ） 同理 1 ( 2 ) ( 2 )39。 2 2( ( ) ( ) )222 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 21 139。 39。 22 22 2 2 22 6T J m lmp ? ?? ?? ? （ ） 1 ( ) ( )22( ( ) ( ) )332 d X m d Y mTmm d t d t?? （ ） 于是有系統(tǒng)的總動能： 1 2 3m m m mT T T T T? ? ? ? （ ） ? 212Mx? + 1 ( 1 ) ( 1 )22( ( ) ( ) )12 d X p d Y pm d t d t?+ 2 211 116ml?? + 1 ( 2 ) ( 2 )22( ( ) ( ) )22 d X p d Y pm d t d t?+ 1 2 22226ml?? + 1 ( ) ( )22( ( ) ( ) )32 d X m d Y mm d t d t? 系統(tǒng)的勢能為： 121 2 3 1 2 3V V V V m Y p m Y p m Y mm m m? ? ? ? ? ? （ ） ? c o s ( 2 c o s c o s ) 2 c o s1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1m l m l l m l? ? ? ?? ? ? 由式（ ）、（ ）、（ ）可知拉格朗日算子： ( , ) ( , ) ( , )L q T q V qq q q? ? ??? （ ） 21 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 2 )2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( )122 2 2M x d X p d Y p d X pmmd t d t d t?? ? ? ? ( 2)2( ) )d Ypdt? 1 1 ( ) ( )2 2 22 ( ( ) ( ) )2 2 3262 d X m d Y mm l m d t d t? ?? ? ? cos11 1ml ?? ( 2 c o s c o s ) 2 c o s2 1 1 2 2 3 1 1m l l m l? ? ?? ? ? 由于系統(tǒng)在 12,??廣義坐標下沒有外力作用，所以有： 畢業(yè)設(shè)計（論文） 27 120102d L ldtd L ldt????????? ??? ??????? ??? ??? （ ） 將式 （ ）展開，并對 1??? 和 2??? 求代數(shù)方程，最后表示為： 1??? = 1f (x , 1? , 2? ,x? , 1?? , 2?? ,x?? ) （ ） 2??? = 1f (x , 1? , 2? ,x? , 1?? , 2?? ,x?? ) 取平衡位置時各變量的初值為零： ? ?, , , , ,1 2 1 2xx? ? ? ?? ? ?=? ?0, 0, 0, 0, 0, 0 將式 （ ） 在平衡位置附近進行泰勒級數(shù)展開，并線性化處理，令： 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? () 121 3 02 1 2 3 192 ( 4 3 1 2 )Af m gK m m m l? ????? ? ? ? () 114 0 0AfK x ????? () 115 01 0AfK ? ????? () 116 02 0AfK ? ????? () 1 2 311 7 0 1 2 3 13 ( 2 4 )2 ( 4 3 1 2 )A m m mfK x m m m l? ? ? ????? ? ? ? () 得到線性化之后的公式 ： xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),,( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 221 0 0AfK x ????? () 1 2 3222 01 2 2 1 2 3 22 ( 2( ) )164 ( 3 ( ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ??????? ? ? ? () 畢業(yè)設(shè)計（論文） 28 1 2 3223 02 2 2 1 2 3 24 ( 3 ( ) )163 ( 4 ( 3 ( ) ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ????? ? ?? ? ? ? () 224 0 0AfK x ????? () 225 01 0AfK ? ????? () 226 02 0AfK ? ????? () 1 2 3 1 2 322 7 02 2 1 2 3 242 ( 2 ( ) ) ( 3 ( )3164 ( 3 ( ) )9Am m m m m mfK xm l m m m l?? ? ? ? ?????? ? ? () 得到 ： xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程 : xu ??? () 取狀態(tài)變量如下： ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000