【正文】 qi 和 L 表示為： 參數(shù) 名稱 實(shí)際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg 1m 擺桿 1 的質(zhì)量 Kg 2m 擺桿 2 的質(zhì)量 Kg 3m 質(zhì)量塊的質(zhì)量 Kg 1l 擺桿 1 轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 M 2l 擺桿 2 轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 M 1θ 擺桿 1 與豎直方向的夾角 / rad 2θ 擺桿 2 與豎直方向的夾角 / rad r 小車的位置 / M F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N g 重力加速度 m/ 2s 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 qid L L fidt qi??????? （ ） 其中 i =1,2,3……n ， fi 為系統(tǒng)在 i 個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力，在二級(jí)倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)分別為 ,12x?? 。1Tm 分別為擺桿 1 的平均動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 對(duì)于系統(tǒng)，可設(shè)以下變量： Xp1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標(biāo)； Xp1 擺 桿 1 質(zhì)心縱坐標(biāo)； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標(biāo)； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標(biāo)； Xm 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)； Ym 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)。 39。39。1mT ， 39。 4 二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 24 4 二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)的 建模分析與仿真 二級(jí)倒立擺模型的分析 為簡(jiǎn)化系統(tǒng)， 我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認(rèn)為擺桿為剛體。 LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是 Q， R 矩陣 ， 其中 R 矩陣常設(shè)定為 1， 可以參考已有的擺桿運(yùn)動(dòng)曲線根據(jù)其規(guī)律進(jìn)行調(diào)節(jié)。因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以 ， 可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點(diǎn)。仿真結(jié)果表明通過采用 P1D 控制，可以得到較為滿意的響應(yīng)結(jié)果。 PID 控制器是一種線性控制器， 它根據(jù)給定 rin(t)與實(shí)際輸出值 yout(t)構(gòu)成控制偏差： ? ? ? ? ? ?e t rin t yo ur t?? () PID 的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ?? ?1 0 dpit T de tu t K e t e tT dt??? ? ?????? () ? ?? ?? ? 11pdiUsG s K T sE s T s??? ? ? ????? () 式中， Kp 為比例系數(shù)； Ki 為積分時(shí)間常數(shù)； Kd 為微分時(shí)間常數(shù)。 合并這兩個(gè)方程，約去 P 和 N ，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? () 設(shè) ??? ?? ，（ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ，0)( 2 ?dtd? 。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的首要工作。 (2)采用恒流斬波，雙極性全橋式驅(qū)動(dòng) 。 b. 電機(jī)與同步帶裝置連接裝置 為了降低皮帶輪與電機(jī)軸裝配的同心度要求，電機(jī)和皮帶輪之間用聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)。因此，必須保證轉(zhuǎn)軸軸承裝配面和編碼器軸裝配面是同心的。 系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 底座設(shè)計(jì) 對(duì)于底座的設(shè)計(jì)，選用的是固定式的 底座 ,如圖 所示： 圖 固定式底座 它的機(jī)構(gòu)穩(wěn)固，不會(huì)因?yàn)闄C(jī)器長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行而改變其水平條件，加工也簡(jiǎn)單，可 以直接鑄造得到。倒立擺的非線性控制正成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。 2 倒立擺機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn) 5 2 倒立擺機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn) 倒立擺簡(jiǎn)介 倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運(yùn)動(dòng)控制卡和普通 PC 機(jī)組成的控制平臺(tái)等三大部分。這種擬人控制不要求給出被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗(yàn)，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題 [10]。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學(xué)者提出了一種新的理論 —— 擬人控制理論。 (3)智能控制方法 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。當(dāng)前倒立擺的控制方法可分為以下幾類： (1)線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法得到期望的控制器。 國(guó)內(nèi)對(duì)倒立擺的研究始于 80 年代，三級(jí)倒立擺及多級(jí)倒立擺的研究也取得了很大進(jìn)展，不僅在系統(tǒng)仿真方面，而且在實(shí)物實(shí)驗(yàn)中，都出現(xiàn)了控制成功的范例。 (4)為防止單級(jí)火箭在拐彎時(shí)斷裂而誕生的柔性火箭（多級(jí)火箭），其飛 行姿態(tài)的控制也可以用多級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行研究。 倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義 對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究不僅僅在其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、原理清晰、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，而且作為典型的多變量系統(tǒng)，可采用實(shí)驗(yàn)來研究控制理論中許多方面的問題。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 題目： 直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設(shè)計(jì) 系 別： 機(jī)電信息系 專 業(yè)： 機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化 班 級(jí)： 學(xué) 生： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 2021 年 5 月 I 直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設(shè)計(jì) 摘要 本文首先利 用牛頓力學(xué)分析的方法和拉格朗日法建立了直線一級(jí) 、二級(jí)、三級(jí) 倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程，并在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時(shí)又是能控的和能觀的。 倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量 ， 其實(shí)驗(yàn)效果直觀、顯著。 (3)通信衛(wèi)星中在預(yù)先計(jì)算好的軌道和確定的位置上運(yùn)行的同時(shí)，要保持 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向地球，使它的太陽能電池板直指向太陽。 80 年代后期開始，較多的研究了倒立擺系統(tǒng)中的非線性特性，提出了一系列的基于非線性分析的控制策略， 1993 年， Wiklund 等人應(yīng)用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級(jí)倒立擺 [4]。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實(shí)踐，并且可以促成相互間的有機(jī)結(jié)合。預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好 的控制效果，但由于控制方法復(fù)雜、成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn) [9]。然而，基于這些智能控制理論所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)往往需要龐大的知識(shí)庫(kù)和相應(yīng)的推理機(jī)，不利于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。 ⑤ 云模型控制 利用云模 型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。 (4)對(duì)論文工作進(jìn)行總結(jié)和展望。也可以利用非線性控制理論對(duì)其進(jìn)行控制。運(yùn)動(dòng)控制卡經(jīng)過 DSP 內(nèi)部的控制算法實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。 轉(zhuǎn)軸的設(shè)計(jì)直接關(guān)系到擺桿鉸鏈的靈活程度，從而影響倒立擺控制的穩(wěn)定性。同步帶通過兩個(gè)皮帶輪裝置聯(lián)結(jié)以減少直接作用在電機(jī)軸的作用力，使整個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定。其參數(shù)如下： 電壓： 電流： 步距角： 5%? 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 重量 ： 最大 靜轉(zhuǎn)矩： 與此步進(jìn)電機(jī)配套的驅(qū)動(dòng)器為 BL230M，驅(qū)動(dòng)模塊特點(diǎn)有 [11]： (1)適用于電壓范圍寬（ 2440V)。如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下： 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 參數(shù) 名稱 實(shí)際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg m 擺桿的質(zhì)量 Kg I 擺桿慣量 kg*m2 l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 m b 小車摩擦系數(shù) N/m/sec ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 通過對(duì)小車受力分析 得到小車水平方向所受的合力： [14] NxbFxM ??? ??? () 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? () 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? () 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? () 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? () 2sin c o sP m g m l m l? ? ? ?? ? ? () 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in () 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負(fù)號(hào)。即，當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象 ， 或不能通過有效的測(cè)量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí) ， 最適合用PID 控制技術(shù) [16]。 通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)，可以較好地減小控制系統(tǒng)偏差，但是在此處通過調(diào)節(jié)微分系 數(shù)，卻不能較好地改善響應(yīng)速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者說積分項(xiàng)引起的變化作用不明顯。 根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的 。三個(gè)系數(shù)過大或過小都會(huì)使系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散，為了達(dá)到理想的控制效果需要根據(jù)調(diào)節(jié)者的經(jīng)驗(yàn)，不斷調(diào)整得到。極點(diǎn)配置法中需要不斷改變其極點(diǎn)位置才可畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 以實(shí)現(xiàn)其最佳的控制效果，調(diào)整略微復(fù)雜。1 1 1T T Tm m m?? 其中 39。2mT ， 39。 2 2( ( ) ( ) )222 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 21 139。又： 11111 sin1 cosXp x lYp l ?????? ?? （ ） 1 1 2 21 1 2 22 2 sin sin2 2 c os c osX p x l lY p l l????? ? ??? ??? （ ） 11112 sin2 cosXm x lYm l ?????? ?? （ ） 則有： 2211 ( 1 ) ( 1 )39。 39。 首先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： 1 2 3m m m mT T T T T? ? ? ? （ ） 式（ ）中1 2 3, , ,m m mT T T分別為小車的動(dòng)能，擺桿 1 的動(dòng)能，擺桿 2 的動(dòng)能和質(zhì)量塊的動(dòng)能。極點(diǎn)的選擇沒有什么規(guī)律，一般必須同時(shí)有實(shí)部和虛部否則系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 小結(jié) 通過應(yīng)用三種不同的控制算法分別對(duì) 直線 一級(jí)倒立擺進(jìn)行了穩(wěn)擺控制 ，由 仿真實(shí)驗(yàn)可知，三種常用方法都可以使擺桿進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。 LQR 控制的原理圖如下所示： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 圖 最優(yōu)控制 LQR 控制原理圖 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R， 利用 MATLAB 命令 lqr 就可以得到 最優(yōu) 反饋 增益 矩陣 K： ? ?, , ,K lqr A B Q