【正文】 qi 和 L 表示為： 參數(shù) 名稱 實際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg 1m 擺桿 1 的質(zhì)量 Kg 2m 擺桿 2 的質(zhì)量 Kg 3m 質(zhì)量塊的質(zhì)量 Kg 1l 擺桿 1 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 2l 擺桿 2 轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 M 1θ 擺桿 1 與豎直方向的夾角 / rad 2θ 擺桿 2 與豎直方向的夾角 / rad r 小車的位置 / M F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N g 重力加速度 m/ 2s 畢業(yè)設計（論文） 25 qid L L fidt qi??????? （ ） 其中 i =1,2,3……n ， fi 為系統(tǒng)在 i 個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標分別為 ,12x?? 。1Tm 分別為擺桿 1 的平均動能和轉(zhuǎn)動動能。 對于系統(tǒng)，可設以下變量： Xp1 擺桿 1 質(zhì)心橫坐標； Xp1 擺 桿 1 質(zhì)心縱坐標； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心橫坐標； Xp2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標； Xm 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標； Ym 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標。 39。39。1mT ， 39。 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 24 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的 建模分析與仿真 二級倒立擺模型的分析 為簡化系統(tǒng)， 我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認為擺桿為剛體。 LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是 Q， R 矩陣 ， 其中 R 矩陣常設定為 1， 可以參考已有的擺桿運動曲線根據(jù)其規(guī)律進行調(diào)節(jié)。因為系統(tǒng)是能控的，所以 ， 可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。仿真結(jié)果表明通過采用 P1D 控制，可以得到較為滿意的響應結(jié)果。 PID 控制器是一種線性控制器， 它根據(jù)給定 rin(t)與實際輸出值 yout(t)構(gòu)成控制偏差： ? ? ? ? ? ?e t rin t yo ur t?? () PID 的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ?? ?1 0 dpit T de tu t K e t e tT dt??? ? ?????? () ? ?? ?? ? 11pdiUsG s K T sE s T s??? ? ? ????? () 式中， Kp 為比例系數(shù)； Ki 為積分時間常數(shù)； Kd 為微分時間常數(shù)。 合并這兩個方程，約去 P 和 N ，得到第二個運動方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? () 設 ??? ?? ，（ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設 ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時，則可以進行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ，0)( 2 ?dtd? 。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是進行控制系統(tǒng)分析和設計的首要工作。 (2)采用恒流斬波，雙極性全橋式驅(qū)動 。 b. 電機與同步帶裝置連接裝置 為了降低皮帶輪與電機軸裝配的同心度要求，電機和皮帶輪之間用聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)。因此，必須保證轉(zhuǎn)軸軸承裝配面和編碼器軸裝配面是同心的。 系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)設計 底座設計 對于底座的設計，選用的是固定式的 底座 ,如圖 所示： 圖 固定式底座 它的機構(gòu)穩(wěn)固，不會因為機器長時間運行而改變其水平條件，加工也簡單，可 以直接鑄造得到。倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 2 倒立擺機械系統(tǒng)設計及實現(xiàn) 5 2 倒立擺機械系統(tǒng)設計及實現(xiàn) 倒立擺簡介 倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運動控制卡和普通 PC 機組成的控制平臺等三大部分。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題 [10]。這又阻礙了智能控制理論的發(fā)展，因此，又有學者提出了一種新的理論 —— 擬人控制理論。 (3)智能控制方法 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。當前倒立擺的控制方法可分為以下幾類： (1)線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設計方法得到期望的控制器。 國內(nèi)對倒立擺的研究始于 80 年代，三級倒立擺及多級倒立擺的研究也取得了很大進展，不僅在系統(tǒng)仿真方面，而且在實物實驗中，都出現(xiàn)了控制成功的范例。 (4)為防止單級火箭在拐彎時斷裂而誕生的柔性火箭（多級火箭），其飛 行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進行研究。 倒立擺系統(tǒng)研究背景及意義 對倒立擺系統(tǒng)的研究不僅僅在其結(jié)構(gòu)簡單、原理清晰、易于實現(xiàn)等特點，而且作為典型的多變量系統(tǒng)，可采用實驗來研究控制理論中許多方面的問題。 本科畢業(yè)設計 (論文 ) 題目： 直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設計 系 別： 機電信息系 專 業(yè)： 機械設計制造及其自動化 班 級： 學 生： 學 號： 指導教師： 2021 年 5 月 I 直線倒立擺的穩(wěn)定控制算法設計 摘要 本文首先利 用牛頓力學分析的方法和拉格朗日法建立了直線一級 、二級、三級 倒立擺實物系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程，并在此基礎上分析了該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時又是能控的和能觀的。 倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度、小車位移和穩(wěn)定時間直接度量 ， 其實驗效果直觀、顯著。 (3)通信衛(wèi)星中在預先計算好的軌道和確定的位置上運行的同時，要保持 畢業(yè)設計（論文） 2 其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向地球，使它的太陽能電池板直指向太陽。 80 年代后期開始，較多的研究了倒立擺系統(tǒng)中的非線性特性，提出了一系列的基于非線性分析的控制策略， 1993 年， Wiklund 等人應用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級倒立擺 [4]。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實踐，并且可以促成相互間的有機結(jié)合。預測控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應控制在理論上有較好 的控制效果，但由于控制方法復雜、成本也高，不易在快速變化的系統(tǒng)上實時實現(xiàn) [9]。然而，基于這些智能控制理論所設計的系統(tǒng)往往需要龐大的知識庫和相應的推理機，不利于實現(xiàn)實時控制。 ⑤ 云模型控制 利用云模 型實現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。 (4)對論文工作進行總結(jié)和展望。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。運動控制卡經(jīng)過 DSP 內(nèi)部的控制算法實現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。 轉(zhuǎn)軸的設計直接關系到擺桿鉸鏈的靈活程度，從而影響倒立擺控制的穩(wěn)定性。同步帶通過兩個皮帶輪裝置聯(lián)結(jié)以減少直接作用在電機軸的作用力，使整個系統(tǒng)更穩(wěn)定。其參數(shù)如下： 電壓： 電流： 步距角： 5%? 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量： 重量 ： 最大 靜轉(zhuǎn)矩： 與此步進電機配套的驅(qū)動器為 BL230M，驅(qū)動模塊特點有 [11]： (1)適用于電壓范圍寬（ 2440V)。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達式，并由此對系統(tǒng)進行性能分析。 實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下： 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 參數(shù) 名稱 實際值 單位 M 小車質(zhì)量 Kg m 擺桿的質(zhì)量 Kg I 擺桿慣量 kg*m2 l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 m b 小車摩擦系數(shù) N/m/sec ? 擺桿與垂直向上方向的夾角 F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N 畢業(yè)設計（論文） 11 通過對小車受力分析 得到小車水平方向所受的合力： [14] NxbFxM ??? ??? () 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? () 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? () 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? () 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? () 2sin c o sP m g m l m l? ? ? ?? ? ? () 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in () 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負號。即，當我們不完全了解一個系統(tǒng)和被控對象 ， 或不能通過有效的測量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時 ， 最適合用PID 控制技術(shù) [16]。 通過調(diào)節(jié)比例系數(shù)，可以較好地減小控制系統(tǒng)偏差，但是在此處通過調(diào)節(jié)微分系 數(shù)，卻不能較好地改善響應速度，減少調(diào)節(jié)時間，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或者說積分項引起的變化作用不明顯。 根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的 。三個系數(shù)過大或過小都會使系統(tǒng)震蕩甚至發(fā)散，為了達到理想的控制效果需要根據(jù)調(diào)節(jié)者的經(jīng)驗，不斷調(diào)整得到。極點配置法中需要不斷改變其極點位置才可畢業(yè)設計（論文） 23 以實現(xiàn)其最佳的控制效果，調(diào)整略微復雜。1 1 1T T Tm m m?? 其中 39。2mT ， 39。 2 2( ( ) ( ) )222 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 21 139。又： 11111 sin1 cosXp x lYp l ?????? ?? （ ） 1 1 2 21 1 2 22 2 sin sin2 2 c os c osX p x l lY p l l????? ? ??? ??? （ ） 11112 sin2 cosXm x lYm l ?????? ?? （ ） 則有： 2211 ( 1 ) ( 1 )39。 39。 首先計算系統(tǒng)的動能： 1 2 3m m m mT T T T T? ? ? ? （ ） 式（ ）中1 2 3, , ,m m mT T T分別為小車的動能，擺桿 1 的動能，擺桿 2 的動能和質(zhì)量塊的動能。極點的選擇沒有什么規(guī)律，一般必須同時有實部和虛部否則系統(tǒng)不穩(wěn) 定。 小結(jié) 通過應用三種不同的控制算法分別對 直線 一級倒立擺進行了穩(wěn)擺控制 ，由 仿真實驗可知，三種常用方法都可以使擺桿進入穩(wěn)定狀態(tài)。 LQR 控制的原理圖如下所示： 畢業(yè)設計（論文） 19 圖 最優(yōu)控制 LQR 控制原理圖 根據(jù)期望性能指標選取 Q 和 R， 利用 MATLAB 命令 lqr 就可以得到 最優(yōu) 反饋 增益 矩陣 K： ? ?, , ,K lqr A B Q