【正文】 39。 21 1 1 126T J m lmp ?????? （ ） 同理 1 ( 2 ) ( 2 )39。 (( ) ( ) )1 2 d X p d Y pTmm d t d t?? （ ） 畢業(yè)設計（論文） 26 211139。 對于系統(tǒng)，可設以下變量： Xp1 擺桿 1 質心橫坐標； Xp1 擺 桿 1 質心縱坐標； Xp2 擺桿 2 質心橫坐標； Xp2 擺桿 2 質心縱坐標； Xm 質量塊質心橫坐標； Ym 質量塊質心縱坐標。39。2 2 2T T Tm m m?? 其中 39。 39。1Tm 分別為擺桿 1 的平均動能和轉動動能。1mT ， 39。39。 小車的動能： 212MxTm ?? （ ） 由式（ ）可得： 39。拉格朗日方程由廣義坐標 qi 和 L 表示為： 參數(shù) 名稱 實際值 單位 M 小車質量 Kg 1m 擺桿 1 的質量 Kg 2m 擺桿 2 的質量 Kg 3m 質量塊的質量 Kg 1l 擺桿 1 轉動軸心到桿質心的長度 M 2l 擺桿 2 轉動軸心到桿質心的長度 M 1θ 擺桿 1 與豎直方向的夾角 / rad 2θ 擺桿 2 與豎直方向的夾角 / rad r 小車的位置 / M F 作用在系統(tǒng)上的外力 / N g 重力加速度 m/ 2s 畢業(yè)設計（論文） 25 qid L L fidt qi??????? （ ） 其中 i =1,2,3……n ， fi 為系統(tǒng)在 i 個廣義坐標上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標分別為 ,12x?? 。 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)建模分析與仿真 24 4 二級直線倒立擺系統(tǒng)的 建模分析與仿真 二級倒立擺模型的分析 為簡化系統(tǒng)， 我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦， 并認為擺桿為剛體。 LQR 中 Q 矩陣的選定可根據(jù)其擺桿的運動曲線及要求進行相應調整，調節(jié)過程有規(guī)律容易掌握。 總的來說，三種控制方法都可以實現(xiàn)直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制且控制效果非常好， PID 控制中擺桿的角度與角速度、小車位置及速度控制效果較好；而LQR 控制中可以比較好地控制住擺桿且響應速度較快超調量較小，但是對小車的控制效果卻稍差些。取不同的極點對應不同的狀態(tài)反饋矩陣，不同的控制效果。 LQR 控制算法中，最終決定控制效果的是 Q， R 矩陣 ， 其中 R 矩陣常設定為 1， 可以參考已有的擺桿運動曲線根據(jù)其規(guī)律進行調節(jié)。其中，若初始位置較大， Kp 必須有很大的改動才能明顯看出擺桿運動曲線的變化，積分系數(shù) Ki 也一樣，微分系數(shù) Kd 則相對于 Kp、 Ki 只要有很小的變 化就可以使擺桿運動曲線產生明顯變化。如何快速的進入穩(wěn)定狀態(tài)僅僅由 它 們的參數(shù)選擇決定。 在 Matlab 中計算得： A=[0 1 0 0； 0 0； 0 0 0 1； 0 0]； B=[0； ； 0； ]； P=[*j， 10+*j， 22*sqrt(3)*j， 2+2*sqrt(3)*j]； K=place(A， B， P) 運行結果為 ： K = 通過在 Matlab 中進行編程，得到以下仿真圖： 圖 系統(tǒng)響應曲線 改變極點，取 P=[2+5i 25i 5+4i 54i]，得到狀態(tài)反饋增益矩陣 K： K= ，得到仿真圖： 畢業(yè)設計（論文） 22 圖 系統(tǒng)響應曲線 從仿真圖中可以看出系統(tǒng)基本上可以在短時 間內實現(xiàn)穩(wěn)定，說明這種算法具有可行性。因為系統(tǒng)是能控的，所以 ， 可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點。 狀態(tài)空間極點配置控制設計及仿真 對于控制系統(tǒng) .X Ax Bu?? 式中： X 為狀態(tài)向量（ n 維） u 控制向量（純量） A nn 維常數(shù)矩陣 B n1 維常數(shù)矩陣 選擇控制信號為： u KX?? 畢業(yè)設計（論文） 21 圖 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制控制原理圖 求解上式，得到： ? ? ? ? ? ?.x t A BK x t?? 方程的解為： ? ? ? ? ? ?0A BK tx t e x?? 可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控， K 選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當t 趨于無窮時，都可以使 x(t)趨于 0。 下面是幾個選擇的一般原則， 通常選用 Q 和 R為對角線矩陣 ， 實際 應用中 ， 通常將 R 值固定 ， 然后改變 Q 的數(shù)值 (一般可直接選 R = 1)， Q 的選擇不唯一表明當?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r ， 可以有多種 Q 值的選擇 ,其中總有一個對角線形式的 Q。確定最佳控制向量的矩陣 K： u(t)= K* x(t)，使得性能指標達到最小值。仿真結果表明通過采用 P1D 控制，可以得到較為滿意的響應結果。 從圖中可以看出建立的一階倒立擺控制系統(tǒng)在 Matlab 中能夠實現(xiàn)倒立擺的要求，能通過電動機牽引機構帶動小車的移動來控制擺桿和保持平衡。 增加積分系數(shù) I 時可以看見到 ， 當 I 從 13 時 ， 系統(tǒng)的性能明顯提高，響應時間縮短，動態(tài)性能得到了很大的提高 。 Kp，調節(jié)器的各個參數(shù) Ki 和 Kd 的值，觀察曲線的變化情況，同理，再次改變另外兩個參數(shù)時，觀察曲線變化。 PID 控制器是一種線性控制器， 它根據(jù)給定 rin(t)與實際輸出值 yout(t)構成控制偏差： ? ? ? ? ? ?e t rin t yo ur t?? () PID 的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ?? ?1 0 dpit T de tu t K e t e tT dt??? ? ?????? () ? ?? ?? ? 11pdiUsG s K T sE s T s??? ? ? ????? () 式中， Kp 為比例系數(shù)； Ki 為積分時間常數(shù)； Kd 為微分時間常數(shù)。當被控對象的結構和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學模型時，控制理論的其它技術難以采用時，系統(tǒng)控制器的結構和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗和現(xiàn)場調試來確定，這時應用 PID 控制技術最為方便。 系統(tǒng)階躍響應分析 上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對其進行階躍響應分析，在 Matlab 中鍵入以下命令： A=[0 1 0 0； 0 0； 0 0 0 1； 0 0]； B=[0； ； 0； ]； C=[1 0 0 0； 0 1 0 0]； D=[0； 0]； step（ A， B， C， D） 得到如下結果： 畢業(yè)設計（論文） 15 圖 直線一級倒立擺單位階躍響應仿真 可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 由于輸出為角度 ? ，求解方程組（ ）的第一個方程，可以得到： )(])([)(22 ssgmlmlIsX ???? () 或： ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m g l? ??? () 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? () 把上式代入方程組（ ）的第二個方程，得到： )()()()()()()( 22222 sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? () 整理后得到以輸入力 u 為輸入量，以擺桿擺角 ? 為輸出量的傳遞函數(shù)： 224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q? ???? ? ? () 其中 ])())([( 22 mlmlImMq ???? 設系統(tǒng)的 狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： DuCXY BuAXX ?? ??? () 方程組 ()對 ???,x 解代數(shù)方程，得到如下解： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMm g lxM mlmMIm l buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(??????????????? () 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： 畢業(yè)設計（論文） 13 uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010???????????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? () 只要將直線一級倒立擺的實際結構參數(shù)代入式 ()中，便可得到矩陣 A、 B、C、 D，如下： 0 1 0 0 00 0. 08 83 16 7 0. 62 93 17 0 0. 88 31 670 0 0 1 00 0. 23 56 55 27 .8 28 5 0 2. 35 65 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 220 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5s sXs s? ? ? () 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 20 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5sVs s? ? ? () 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 32( ) 2 .3 5 6 5 5() 0 .0 8 8 3 1 6 7 2 7 .9 1 6 9 2 .3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? () 系統(tǒng)可觀可控性分析 對 n x n 矩陣 A， n x m 矩陣 B 和 p x n 矩陣 C， ctrb（ A,B）可得到如下所示的