【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 頁(yè) 共 32頁(yè) 11 g=。 l=。 q=(M+m)*(l+m*l^2)(m*l)^2。%simplifies input num=[m*l/q 0 0] den=[1 b*(l+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] kd=20 kp=1000 ki=1 numPID=[kd kp ki]。 denPID=[1 0]。 numc=conv(num,denPID) denc=polyadd(conv(denPID,den),conv(numPID,num)) t=0::5。 step(numc,denc,t) Polyadd 函數(shù)內(nèi)容 如下： function[poly]=polyadd(poly1,poly2) if length(pily1)length(poly2) short=poly1。 long=poly2。 else short=poly2。 long=poly1。 end mz=length(long)length(short) if mz0 poly=[zeros(l,mz),short]+long。 else poly=long+short。 end 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 12 頁(yè) 共 32頁(yè) 12 通過(guò)臨界比例法調(diào)節(jié) PID 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。取 pK =1000, iK =1, dK =20，階躍響應(yīng)曲線如圖 ?？梢钥闯?，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及暫態(tài)性能都已經(jīng)比較合適。 圖 PID 控制器輸出 從以上 matlab 仿真結(jié)果來(lái)看，對(duì)單級(jí)小車倒立擺進(jìn)行 PID 的控制是可行的，且有良好的動(dòng)態(tài)特性及穩(wěn)態(tài)特性。具有 PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、可靠性高以及易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn) ,同時(shí)具有模糊控制對(duì)于倒立擺這種時(shí)變、非線性 的的復(fù)雜系統(tǒng)有較好的魯棒性的優(yōu)點(diǎn)。 現(xiàn)代控制理論在倒立擺平臺(tái)上的應(yīng)用 極點(diǎn)配置法 針對(duì)直線單級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器，這樣既可以對(duì)擺桿位置加以控制，也可以對(duì)小車位置加以控制。根據(jù)式????????????umlxbxmMm lxmgmlI.......2)()(??? 我們可以推導(dǎo)出倒立擺系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程 : 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 13 頁(yè) 共 32頁(yè) 13 ??????????????????????umM lmMI mlImM lmMI lmxumM lmMI mlmM lmMI gmMmlg22222..22..)()()()()(??? 上式是兩元聯(lián)立二階常微分方程，如果取狀態(tài)變量為： ??????????????????????????xxxxxxx ??4321 即擺桿的角度和速度以及小車的位置和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)狀態(tài)方程為： ??????????????????????????uM m lmMImlIxM m lmMIglmxxxuM m lmMImlxM m lmMImMmg lxxx221222443212221)()()()()( 將上式寫成向量和矩陣的形 式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程： BuAxx ??. .x 是四維的狀態(tài)向量，而系統(tǒng)矩陣 A 和輸入矩陣 B 為下列形式：系統(tǒng)矩陣?????????????00010000000010baA ,輸入矩陣?????????????dcB00.其中參數(shù) a , b, c, d 為下列表達(dá)式確定的常數(shù)： 2)( )( m MlmMI mMm gla ?? ??，2)( m MlmMI Mlc ??? 222)( m MlmMI glmb ???，22)( m MlmMI mlId ?? ?? 選擇擺桿的傾斜角度θ 和小車的水平位置 x 作為倒立擺桿 /小車系統(tǒng)的輸出，則輸出方程為： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 14 頁(yè) 共 32頁(yè) 14 Cxxxxxxy ???????????????????????????432101000001? 所謂狀態(tài)反饋，就是用狀態(tài)向量與一個(gè)系數(shù)矩陣的積作為控制向量： Kxu? ,控制力 u是一個(gè)加給小車水平方向的力 u ，狀態(tài)變量有四個(gè)，所以反饋系數(shù)是個(gè) 1 4階的矩陣： ][ 4321 kkkkK ? ,則系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制力可用狀態(tài)變量與各自系數(shù) k1 , k2,k3,k4乘積之和的形式表示，即： . xkxkkkxkxkxkxku ???????? ??， 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖如圖 ： 圖 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)框圖 極點(diǎn)配置法是以線性系統(tǒng)為對(duì)象設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)）分布在指定位置的控制器設(shè)計(jì)方法 .得到系統(tǒng)矩陣 A 和輸入矩陣 B 為：??????????????10000010A ,??????????????00B ， 矩陣 A 的特征值是方程 0??AIs 的根 . 因此，該系統(tǒng)的特征根 41 ss到 分別為： ,0,0 4321 ????? ssss 特征根之一 S3的實(shí)部是正值，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由此可知： u =0 時(shí)，倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)這一不穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)用狀態(tài)反饋，可使擺桿垂直并使小車處于基準(zhǔn)位置，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài) . 在用狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)中，應(yīng)用狀態(tài)反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)的特征根，以矩陣 ( A+ BK)的特征值給出。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是所有特征值都要處于復(fù)平面的左半平面 .矩陣 ( A+ 倒立擺桿 狀態(tài)變量 ? .? x .x k1 k2 k3 k4 控制力 u + + + + 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 15 頁(yè) 共 32頁(yè) 15 BK)的特征方程式 0)( ??? BKAI s 的根： ? ? 000000100000000100000000000004321 ????????????????????????????????????????kkkkdcbassss 可表示為： 0)()()()( 342313424 ?????????? kbcadskbcadsdkckasdkcks 適當(dāng)選擇反饋系數(shù) k1， k2， k3， k4，系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值 .把四個(gè)特征根λ 1 , λ 2,λ 3,λ 4 設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有： 0)( )()( 43214214313243212423114433221343214?????? ?????????? ???????????????? ???????????????? s sss 比較上述兩式有下列聯(lián)立方程式： ??????????????????????????????43213421431432321442314143322131432142)()()(????????????????????????????????kbcadkbcaddkckadkck 如果給出的 4321 , ???? 是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù) .據(jù)此可求解出實(shí)數(shù) 4321 , kkkk . 當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí)： jj ????? 2,21, 4321 ???? 利用方程式可列出關(guān)于 4321 , kkkk 的方程組 ， 求解后得： 4321????kkkk 則施加在小車水平方向上的控制力： .. xxu ???? ?? 上式給出的狀態(tài)反饋控制器，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有的狀態(tài)變 量 .. , xx?? ,都可穩(wěn)定在 0的狀態(tài) .這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外擾時(shí)，擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置，依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立，使小車 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 16 頁(yè) 共 32頁(yè) 16 保持在基準(zhǔn)位置 . 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng) .控制器的目的是使倒立擺系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定 ,即保持倒立擺在垂直的位置 ,使小車在外力作用下其位移以較小的誤差跟隨輸入的變化 .由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要是由他的極點(diǎn)位置決定的 ,同時(shí)容易證明一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)能控而且能觀的系統(tǒng) .通過(guò)極配置狀態(tài)反饋控制器來(lái)使系統(tǒng)保持穩(wěn)定 . 狀態(tài)反饋控 制方程為： xKKKKKxf ][ 4321???? 閉環(huán)系統(tǒng)的方程為 : xBKABfAxx )(. ???? 選取所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置： 4321 , kkkk 根據(jù)如下 MATLAB 程序可求得狀態(tài)反饋增益 K(假設(shè)小車的質(zhì)量為 3 kg ,擺桿的質(zhì)量為 kg ,擺桿的長(zhǎng)度為 m) ,程序如下 : M=3。 m=。l=。g=。 A21=(M +m)/M/l*g。 A41=m/M*g。 B21=1/M/l。 B41=1/M。 A=[0 1 0 0。A21 0 0 0。0 0 0 1。A41 0 0 0] B=[0。B21。0。B41] C=[1 0 0 0。0 1 0 0。0 0 1 0。0 0 0 1] D=0 M=[B A*B A^2*B A^3*B]。 J=[(2j*2*sqrt(3)) 0 0 0。0 (2+j*2*sqrt(3)) 0 0。0 0 10 0。0 0 0 10]。 jj=poly(J)。 Phi=polyvalm(poly(J),A)。 K= [0 0 0 1]*(inv(M))*Phi 求得 ： 0]1000,0100,0010,0001[]。0。0[],1000,0010[??????DCBA 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書（論文） 第 17 頁(yè) 共 32頁(yè) 17 應(yīng)用 MATLAB 中的 Simulink 設(shè)計(jì)用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真模型如下圖所示。圖中 StateSpace 模塊填入了上面程序計(jì)算所得的 A ,B ,C,D 值。然后用 1 個(gè) Bus Selector 輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度 4 個(gè)量 ,之后用 4 個(gè) Gain(分別輸出參數(shù) K(1)K(2)K(3)K(4))和 1個(gè) Sum 構(gòu)成狀態(tài)反饋 ,同時(shí)用示波器輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度 4個(gè)量。如圖為 simulink 構(gòu)成的狀態(tài)反饋圖： simulink構(gòu)成的狀態(tài)反饋圖 上述狀態(tài)反饋可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài) ,即所有的狀態(tài)變量都可以穩(wěn)定在零狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外界干擾時(shí) ,擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置導(dǎo)軌中心 ,依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立 ,并使小車保持在基準(zhǔn)位置。相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移 ,得到迅速修正的程度要依賴于指定的特