倒立擺系統(tǒng)方案書實驗設(shè)計報告(編輯修改稿)
2025-05-22 13:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 d,Q,R,T)。%wer_lqr 是自己定義的函數(shù)，具體見下面程序 x0=[。0。0]。 t=0::10。 [y x1]=initial(syse,x0,t)。plot(t,y(:,1),39。red39。,t,y(:,2),39。blue39。)wer_lqr 源程序：function [sysresult k]=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T)。%[sysresult k]=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T)。[k S e]=dlqr(da,db,Q,R)。G=dadb*k。sysresult=ss(G,db,dc,dd,T)。我們已開始的 Q 為：Q1=[10 0 0 0。0 0 0 0。0 0 1 0。0 0 0 0]；結(jié)果得到的圖為圖 6；Q2 取為：Q=[100 0 0 0。0 0 0 0。0 0 10 0。0 0 0 0]。結(jié)果得到的圖為圖 7；通過比較，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) Q1 Q33 比值一定時，取大的值時系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)加大；反之則響應(yīng)變慢但是超調(diào)減小。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 6 Q1 響應(yīng)圖0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 7 Q2 響應(yīng)圖在左右權(quán)衡之間，我們最終選取了：Q=[300 0 0 0。0 0 0 0。0 0 30 0。0 0 0 0]此時的響應(yīng)曲線如圖 8，而 k 值為：k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 8 最優(yōu)的響應(yīng)曲線此時的單位階躍響應(yīng)曲線為圖 9：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 9 單位階躍響應(yīng)曲線從仿真效果來看，零狀態(tài)響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)都符合要求。 極點配置法采用極點配置法設(shè)計多輸出的倒立擺系統(tǒng)的控制方案。可以用完全狀態(tài)反饋來解決，控制擺桿和小車的位置。 圖 10 是控制系統(tǒng)的示意圖。圖 10 控制系統(tǒng)框圖 假定所有的狀態(tài)變量都可以測量和反饋，可以證明：若所研究的系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，那么，利用狀態(tài)反饋的方法，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣，就可以把閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任何期望的位置。 設(shè)開環(huán)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程為： x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)其中，假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的x(k) 為在第 k 次采樣時刻的狀態(tài)矢量（n 維矢量）u(k) 為在第 k 次采樣時刻的控制信號（標量）G = n n 矩陣?H = n 1 矩陣設(shè)極點配置的控制律形式為)()(kxKup??式中 是狀態(tài)反饋增益矩陣（ 矩陣） ，于是該系統(tǒng)就成為一個閉環(huán)控制系統(tǒng)。其n?1閉環(huán)狀態(tài)方程為 )(()kxHKGkxp???注意， 的特征值就是所要求的閉環(huán)極點 。 p? n??,21我們希望利用狀態(tài)反饋 把閉環(huán)極點布置在 ， ，…，)()(kxup 1?z2。即要求特征方程為：nz??)()(21npzzHKGI ???????? 0121 ???????nnazza根據(jù) Cayley_hamiton 定理, 經(jīng)過推導(dǎo) (此略) 可以得到 ??)(][01GHGnp ??????其中 IaaGnnnn ?????121)( ??上式給出所要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 。矩陣 的這種特殊表達式就是常說的阿克pKp曼公式。狀態(tài)反饋增益矩陣按這樣的方法確定，即可使誤差（由擾動所引起的）以足夠快的速度降到零。注意，對于一個給定的系統(tǒng)，矩陣 并不是唯一的，而是取決于所期望的閉p環(huán)極點位置（它決定響應(yīng)速度）的選擇。選擇期望的閉環(huán)極點或期望的特征方程是在誤差矢量響應(yīng)的快速性與對擾動和測量噪聲敏感型之間的一個折衷方案。也就是說，如果我們使誤差響應(yīng)的速度提高，那么擾動和測量噪聲的有害影響往往也會增強。在確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣 時，通常是通過比較按不同的期望閉環(huán)極點或期望特征方程得到pK的矩陣 ，并從中選出使整個系統(tǒng)達到的特性最好的那個矩陣 。在實際設(shè)計時, 我們p pK運用 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱中的“place ”函數(shù)直接進行仿真和運算。先在連續(xù)域中進行計算，然后再轉(zhuǎn)到離散域。根據(jù)系統(tǒng)的性能要求，我們可取， ，這時完全滿足題中的性能要求。那么我們就可以進行離散域設(shè)計了：=?w3n? z1=exp(((3*2^)/2+(3*2^)*j/2)*)z1 = z2=exp(((3*2^)/2(3*2^)*j/2)*)z2 = + z3=exp(10*)z3 = z4=exp(12*)z4 = p=[z1 z2 z3 z4]。K=place(da,db,p)K = G=dadb*K。 syse=ss(G,db,dc,dd,)。 t=0::10。 x0=[。 0。 。 0]。 [y1,x]=initial(syse,x0,t)。 plot(t,y1(:,1),39。red39。,t,y1(:,2),39。blue39。)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 11 極點配置圖零輸入響應(yīng)而它的單位階躍響應(yīng)是：u=ones(1,length(t))。 [y,x]=lsim(syse,u,t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0位位位位位位圖 12 極點配置單位階躍響應(yīng)從仿真效果來看，也是基本上達到了系統(tǒng)的要求。PID 控制算法目的：設(shè)計 PID 控制器，使得當(dāng)在小車上施加 1N 的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標為：穩(wěn)定時間小于 5 秒穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 弧度分析：系統(tǒng)輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如下：圖 13 PID 系統(tǒng)框圖圖中 是控制器傳遞函數(shù)， 是被控對象傳遞函數(shù)。)(sKD)(sG考慮到輸入 ，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成0?r圖 14 PID 系統(tǒng)反饋控制框圖該系統(tǒng)的輸出為 )()()( )(1)()(1)( sFnumPIDdenPIusdenIusGKsy???其中， ——被控對象傳遞函數(shù)的分子項num——被控對象傳遞函數(shù)的分母項de——PID 控制器傳遞函數(shù)的分子項PID——PID 控制器傳遞函數(shù)的分母項n被
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