【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 27）由于，，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，可得第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為： （28）設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)無(wú)限趨近于零，則可以進(jìn)行近似處理：，，用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下： （29）對(duì)上式做拉普拉斯變換，得： （210）推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)可假設(shè)初始條件為0。輸出為角度為Φ，求解方程組(210)的第一個(gè)方程，可以得到： （211）把式(211)代入方程組(210)的第二個(gè)方程，得： （212）化簡(jiǎn)整理后得傳遞函數(shù)為： （213）其中， （214）由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為： （215）對(duì)，解代數(shù)方程，可得解如下： （216） 式216為直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： （217） （218）由此可見，一級(jí)倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級(jí)倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)（，，，）代入上面兩式，得對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣為：A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]； B=[0。0。]；C=[1 0 0 0。0 0 1 0]；D=[0。0]； 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，主要是針對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)，就需要用到現(xiàn)代控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性以及能控性判據(jù)[15]。直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是其不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，若要使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)上，則需要設(shè)計(jì)出方便可行的穩(wěn)定控制器。若要設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，則必須要考慮系統(tǒng)的能控性。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性，則可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)常應(yīng)用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析所謂穩(wěn)定性，是指如果系統(tǒng)由于受到擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)作用去除后，若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡(jiǎn)單也最常用的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，然后觀察其中是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn)(不穩(wěn)定極點(diǎn))。如果所求極點(diǎn)均小于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。調(diào)用MATLAB函數(shù)中的roots(den)或eig(A)，即可得出由傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)或狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，則這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。將實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)代入MATLAB中，通過仿真計(jì)算得到傳遞函數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下： m 擺桿質(zhì)量 KgM 小車質(zhì)量 Kgl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sI 擺桿慣量 g 重力加速度 在Matlab中，通過拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)。仿真程序見下： M = 。 m = 。 b = 。 I= 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=tf(num,den) roots(den)結(jié)果如下：執(zhí)行上面的文件，就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的Matlab 表示。因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為，。由于有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)能控性分析能控性定義：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為：，其中，x、u分別為n、r維向量；A、B為滿足矩陣運(yùn)算的常值矩陣。若給定系統(tǒng)的一個(gè)初始狀態(tài)（可為0），如果在的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，存在容許控制使，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻能控的；如果系統(tǒng)對(duì)任意一個(gè)初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或系統(tǒng)是能控的[16]。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，若，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為。若系統(tǒng)是能控的，則存在容許控制，使得：；；。滿足上式的初始狀態(tài)，必是能控狀態(tài)。下列命題中的任何一個(gè)成立，都可作為線性定常系統(tǒng)對(duì)于完全能控的充要條件。（1）矩陣的秩為n，其中，稱為格蘭姆矩陣。（2）若系統(tǒng)能控，則能控性矩陣滿秩。 即。（3）矩陣的行線性獨(dú)立。其中，矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣，n是系統(tǒng)的階次，矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)。ctrb()函數(shù)的調(diào)用格式為：，通過該函數(shù)可以求出系統(tǒng)的能控矩陣：矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。如果，則系統(tǒng)完全能控。 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析若一個(gè)n維線性定常系統(tǒng)方程為：其中A、B、C、D分別為、常數(shù)矩陣。如果在有限時(shí)間（可為0，）內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)與給出的u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)的每一個(gè)分量，則稱此系統(tǒng)為完全可觀測(cè)的。若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可測(cè)的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測(cè)的。由能觀性判據(jù)可知，系統(tǒng)的可觀測(cè)性取決于系統(tǒng)狀態(tài)方程的A矩陣和C矩陣，因此可以構(gòu)造系統(tǒng)的能觀測(cè)性矩陣：上式中的n為系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性矩陣，由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(A，C)函數(shù)可以將該矩陣自動(dòng)的生成出來(lái)。obsv(A，C)函數(shù)的調(diào)用格式為：同理，用obsv(A，C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測(cè)矩陣：矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)，它的值表示系統(tǒng)中能觀測(cè)狀態(tài)的數(shù)目。若，則說(shuō)明系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。由式子 其中 我們可知，即矩陣滿秩，則系統(tǒng)可觀測(cè)的。我們可以看出，一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為4，所以系統(tǒng)是完全能控、完全能觀的。綜上所述，可以得知直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。 本章小結(jié)本章應(yīng)用牛頓一歐拉法建立了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出了該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并求出了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型以及空間狀態(tài)方程矩陣，并且分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性，最終得出直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。第三章 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)PID控制 PID控制算法目前的自動(dòng)控制技術(shù)大多基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個(gè)部分：測(cè)量、比較和執(zhí)行。測(cè)量關(guān)心的變量，與期望值相比較，用這個(gè)誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。PID控制的基本思想是：通過測(cè)量輸出變量，與期望值相比較，用這個(gè)誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。在實(shí)際工程中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡(jiǎn)稱PID控制，又稱PID調(diào)節(jié)。PID控制器問世至今已有近70多年的歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)而成為現(xiàn)代工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試和工程師的經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定[17] 。PID控制系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示。yout(k)K比例微分積分被控對(duì)象rin(k)+++圖6 典型PID校正器的結(jié)構(gòu)框圖 直線一級(jí)倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如圖7所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對(duì)象G(S)組成。圖7 常規(guī)PID控制系統(tǒng)圖PID控制器是作為一種線性控制器，它是根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差：將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量，來(lái)對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱為PID控制器。其控制規(guī)律為： 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式： 式中：——比例系數(shù)；——積分時(shí)間常數(shù)；——微分時(shí)間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也常將傳遞函數(shù)寫成： 式中：——比例系數(shù)；——積分系數(shù)；——微分系數(shù)。PID控制器中的三個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響：（1）比例調(diào)節(jié)(P) 比例調(diào)節(jié)(P)比例系數(shù)的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度。越大，系統(tǒng)的快速性越好，但過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)靜態(tài)偏差增大。（2）積分調(diào)節(jié)(I) 積分作用可消除余差，積分常數(shù)的大小決定了積分作用程度的強(qiáng)弱。越大其靜態(tài)誤差越小，但過大會(huì)產(chǎn)生振蕩，導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。因此，要恰當(dāng)?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。（3）微分調(diào)節(jié)(D) 可以消除振蕩，提高快速性，當(dāng)偏差瞬間的波動(dòng)較快時(shí)，微分調(diào)節(jié)器則會(huì)立刻產(chǎn)生響應(yīng)來(lái)抑制偏差的變化，從而使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，而且系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也得到了改善。但微分系數(shù)過大會(huì)引起靜態(tài)誤差[18]。直線一級(jí)倒立擺控制問題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng)，觀察擺桿的響應(yīng)。系