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正文內(nèi)容

基于一級倒立擺的復(fù)合控制器設(shè)計(jì)畢業(yè)論文設(shè)計(jì)(編輯修改稿)

2025-07-15 18:07 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 27)由于,,故等式前面有負(fù)號。合并這兩個(gè)方程,約去P和N,可得第二個(gè)運(yùn)動方程為: (28)設(shè)(是擺桿與垂直向上方向之間的夾角),假設(shè)無限趨近于零,則可以進(jìn)行近似處理:,,用u來代表被控對象的輸入力F,線性化后兩個(gè)運(yùn)動方程如下: (29)對上式做拉普拉斯變換,得: (210)推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)可假設(shè)初始條件為0。輸出為角度為Φ,求解方程組(210)的第一個(gè)方程,可以得到: (211)把式(211)代入方程組(210)的第二個(gè)方程,得: (212)化簡整理后得傳遞函數(shù)為: (213)其中, (214)由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式為: (215)對,解代數(shù)方程,可得解如下: (216) 式216為直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為: (217) (218)由此可見,一級倒立擺實(shí)際上是一個(gè)單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)(,,,)代入上面兩式,得對應(yīng)系數(shù)矩陣為:A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]; B=[0。0。];C=[1 0 0 0。0 0 1 0];D=[0。0]; 直線一級倒立擺系統(tǒng)分析得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后,為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的性質(zhì),需要對系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析,主要是針對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性的分析。在對時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí),就需要用到現(xiàn)代控制理論中的穩(wěn)定性判據(jù)、能觀性以及能控性判據(jù)[15]。直線一級倒立擺系統(tǒng)的豎直向上位置是其不穩(wěn)定平衡點(diǎn),若要使直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)上,則需要設(shè)計(jì)出方便可行的穩(wěn)定控制器。若要設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng),則必須要考慮系統(tǒng)的能控性。對于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性,則可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)常應(yīng)用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析所謂穩(wěn)定性,是指如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài),當(dāng)擾動作用去除后,若系統(tǒng)能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的,反之該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單也最常用的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn),然后觀察其中是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn)(不穩(wěn)定極點(diǎn))。如果所求極點(diǎn)均小于零,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的,反之系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。調(diào)用MATLAB函數(shù)中的roots(den)或eig(A),即可得出由傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)或狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點(diǎn),則這樣就可以由得出的極點(diǎn)位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。將實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)代入MATLAB中,通過仿真計(jì)算得到傳遞函數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下: m 擺桿質(zhì)量 KgM 小車質(zhì)量 Kgl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sI 擺桿慣量 g 重力加速度 在Matlab中,通過拉普拉斯變換后得到的傳遞函數(shù)可以通過計(jì)算并輸入分子和分母矩陣來實(shí)現(xiàn)。仿真程序見下: M = 。 m = 。 b = 。 I= 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 %simplifies input num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] G=tf(num,den) roots(den)結(jié)果如下:執(zhí)行上面的文件,就可以求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子與分母多項(xiàng)式的Matlab 表示。因此,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為:系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為,。由于有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部,開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 系統(tǒng)能控性分析能控性定義:線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為:,其中,x、u分別為n、r維向量;A、B為滿足矩陣運(yùn)算的常值矩陣。若給定系統(tǒng)的一個(gè)初始狀態(tài)(可為0),如果在的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi),存在容許控制使,則稱系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻能控的;如果系統(tǒng)對任意一個(gè)初始狀態(tài)都能控,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的,簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或系統(tǒng)是能控的[16]。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:,若,系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為。若系統(tǒng)是能控的,則存在容許控制,使得:;;。滿足上式的初始狀態(tài),必是能控狀態(tài)。下列命題中的任何一個(gè)成立,都可作為線性定常系統(tǒng)對于完全能控的充要條件。(1)矩陣的秩為n,其中,稱為格蘭姆矩陣。(2)若系統(tǒng)能控,則能控性矩陣滿秩。 即。(3)矩陣的行線性獨(dú)立。其中,矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣,n是系統(tǒng)的階次,矩陣可以由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。ctrb()函數(shù)的調(diào)用格式為:,通過該函數(shù)可以求出系統(tǒng)的能控矩陣:矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù),它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。如果,則系統(tǒng)完全能控。 系統(tǒng)可觀測性分析若一個(gè)n維線性定常系統(tǒng)方程為:其中A、B、C、D分別為、常數(shù)矩陣。如果在有限時(shí)間(可為0,)內(nèi),根據(jù)輸出值y(t)與給出的u(t),能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)的每一個(gè)分量,則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。若系統(tǒng)中至少有一個(gè)狀態(tài)變量是不可測的,則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。由能觀性判據(jù)可知,系統(tǒng)的可觀測性取決于系統(tǒng)狀態(tài)方程的A矩陣和C矩陣,因此可以構(gòu)造系統(tǒng)的能觀測性矩陣:上式中的n為系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能觀測性矩陣,由MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(A,C)函數(shù)可以將該矩陣自動的生成出來。obsv(A,C)函數(shù)的調(diào)用格式為:同理,用obsv(A,C)函數(shù)可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣:矩陣的秩稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù),它的值表示系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。若,則說明系統(tǒng)是完全能觀測的。由式子 其中 我們可知,即矩陣滿秩,則系統(tǒng)可觀測的。我們可以看出,一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為4,所以系統(tǒng)是完全能控、完全能觀的。綜上所述,可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。 本章小結(jié)本章應(yīng)用牛頓一歐拉法建立了直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,推導(dǎo)出了該系統(tǒng)的運(yùn)動方程,并求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型以及空間狀態(tài)方程矩陣,并且分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性,最終得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定系統(tǒng)但是卻能控能觀的。第三章 直線一級倒立擺系統(tǒng)PID控制 PID控制算法目前的自動控制技術(shù)大多基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個(gè)部分:測量、比較和執(zhí)行。測量關(guān)心的變量,與期望值相比較,用這個(gè)誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。PID控制的基本思想是:通過測量輸出變量,與期望值相比較,用這個(gè)誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。在實(shí)際工程中,應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制,簡稱PID控制,又稱PID調(diào)節(jié)。PID控制器問世至今已有近70多年的歷史,它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)而成為現(xiàn)代工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握,或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí),控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí),系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠現(xiàn)場調(diào)試和工程師的經(jīng)驗(yàn)來確定[17] 。PID控制系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示。yout(k)K比例微分積分被控對象rin(k)+++圖6 典型PID校正器的結(jié)構(gòu)框圖 直線一級倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)在模擬控制系統(tǒng)中,控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如圖7所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對象G(S)組成。圖7 常規(guī)PID控制系統(tǒng)圖PID控制器是作為一種線性控制器,它是根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差:將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量,來對被控對象進(jìn)行控制,故稱為PID控制器。其控制規(guī)律為: 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式: 式中:——比例系數(shù);——積分時(shí)間常數(shù);——微分時(shí)間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中,也常將傳遞函數(shù)寫成: 式中:——比例系數(shù);——積分系數(shù);——微分系數(shù)。PID控制器中的三個(gè)參數(shù)對系統(tǒng)控制品質(zhì)方面的影響:(1)比例調(diào)節(jié)(P) 比例調(diào)節(jié)(P)比例系數(shù)的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度。越大,系統(tǒng)的快速性越好,但過大會導(dǎo)致系統(tǒng)靜態(tài)偏差增大。(2)積分調(diào)節(jié)(I) 積分作用可消除余差,積分常數(shù)的大小決定了積分作用程度的強(qiáng)弱。越大其靜態(tài)誤差越小,但過大會產(chǎn)生振蕩,導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降。因此,要恰當(dāng)?shù)倪x擇積分常數(shù)大小。(3)微分調(diào)節(jié)(D) 可以消除振蕩,提高快速性,當(dāng)偏差瞬間的波動較快時(shí),微分調(diào)節(jié)器則會立刻產(chǎn)生響應(yīng)來抑制偏差的變化,從而使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的動態(tài)性能也得到了改善。但微分系數(shù)過大會引起靜態(tài)誤差[18]。直線一級倒立擺控制問題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問題有些不同,在這里輸出量為擺桿的位置,它的初始位置為垂直向上,我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動,觀察擺桿的響應(yīng)。系
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