【文章內(nèi)容簡介】 研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 受力分析 在忽略了空氣阻力、各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)， 所示 直線一級倒立擺系統(tǒng) 是退到過程中用到的物理量及其意義 符號意義實際數(shù)值M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量f小車摩擦力 N/m/sec l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I擺桿慣量*m*m F加在小車上的力x小車位置θ擺桿與垂直向上方向的夾角 （考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 擺桿收到水平方向的干擾力擺桿受到垂直方向的干擾力與的合力重力加速度。其中，N與P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 系統(tǒng)中小車的受力分析圖，其中是擺桿受到的水平方向的干擾力, 是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向夾角為α的干擾力。 擺桿受力分析圖備注：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測裝置和執(zhí)行裝置的正負方向已確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。 數(shù)學(xué)模型分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為α的干擾力，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力、垂直干擾力產(chǎn)生的力矩。 對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 即： 對圖 擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下：代入P和N，得到方程：設(shè)θ=Φ+，（Φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設(shè)Φ1，則可以進行近似處理： ，則有即是化簡后的直線一級倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實際數(shù)據(jù)后，微分方程如式如下所示。 當忽略了，則系統(tǒng)的微分方程如下所示 相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： 忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的 4 個狀態(tài)量分別是小車的位移、小車的速度、擺桿的角度θ、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測量為小車的位移、擺桿的角度θ。其控制量為小車的加速度，是直線一級倒立擺運動中各種干擾因素的綜合項，可以等效為干擾力考慮。 倒立擺模型的分析 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析： 直線一級倒立擺單入單出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 開環(huán)系統(tǒng)的極點為：p=,p=5,42用Matlab軟件可以畫出系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示： 系統(tǒng)閉環(huán)跟軌跡圖由系統(tǒng)根軌跡圖可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個開環(huán)極點位于右半平面，并且閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡關(guān)于虛軸對稱，這意味著無論根軌跡增益如何變化，閉環(huán)根總是位于正實軸或者虛軸上，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的。 倒立擺特性雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:①非線性 倒立擺是一個典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制，也可以利用非線性控制理論對其進行控制，倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。②不確定性 主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。③耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的耦合關(guān)系，倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要的耦合量。④開環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。⑤約束限制由于機構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機功率都盡量要求最小，行程限制對倒立擺的擺起影響最為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。第3章 PID控制理論 PID控制概述在工業(yè)自動化設(shè)備中，常采用由比例、積分、微分控制策略形成的校正裝置作為系統(tǒng)的控制器。 自從計算機進入控制領(lǐng)域以來，用數(shù)字計算機代替模擬計算機調(diào)節(jié)器組成計算機控制系統(tǒng)，不僅可以用軟件實現(xiàn)PID控制算法，而且可以利用計算機的邏輯功能，使PID控制更加靈活。數(shù)字PID控制在生產(chǎn)過程中是一種最為普遍的控制方法，將偏差的比例、積分、和微分通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，故稱為PID控制器。當今的自動控制技術(shù)都是基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。測量關(guān)心的變量，與期望值相比較，用這個誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。這個理論和應(yīng)用自動控制的關(guān)鍵是，做出正確的測量和比較后，如何才能更好地糾正系統(tǒng)。PID（比例積分微分）控制作為最早實用化的控制器已有70多年歷史，現(xiàn)在仍然是應(yīng)用最廣泛的工業(yè)控制器。PID控制簡單易懂，使用中不需精確的系統(tǒng)模型等先決條件，因而成為應(yīng)用最為廣泛的控制器。PID控制由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成。其輸入e (t)與輸出u (t)的關(guān)系為 ()因此它的傳遞函數(shù)為： 它由于用途廣泛、使用靈活，已有系列化產(chǎn)品，使用中只需設(shè)定三個參數(shù)（Kp， Ki和Kd）即可。在很多情況下，并不一定需要全部三個單元，可以取其中的一到兩個單元，但比例控制單元是必不可少的。PID控制之所以廣泛使用：首先，PID應(yīng)用范圍廣。雖然很多工業(yè)過程是非線性或時變的，但通過簡化可以變成基本線性和動態(tài)特性不隨時間變化的系統(tǒng)，這樣PID就可控制了。其次，PID參數(shù)較易整定。也就是，PID參數(shù)Kp，Ki和Kd可以根據(jù)過程的動態(tài)特性及時整定。如果過程的動態(tài)特性變化，例如可能由負載的變化引起系統(tǒng)動態(tài)特性變化，PID參數(shù)就可重新整定。第三，PID控制在實踐中也不斷的得到改進，下面兩個改進的例子。在工廠，總是能看到許多回路都處于手動狀態(tài)，原因是很難讓過程在“自動”模式下平穩(wěn)工作。由于這些不足，采用PID的工業(yè)控制系統(tǒng)總是受產(chǎn)品質(zhì)量、安全、產(chǎn)量和能源浪費等問題的困擾。PID參數(shù)自整定就是為了處理PID參數(shù)整定這個問題而產(chǎn)生的?，F(xiàn)在，自動整定或自身整定的PID控制已是商業(yè)單回路控制器和分散控制系統(tǒng)的一個標準。在一些情況下針對特定的系統(tǒng)設(shè)計的PID控制控制得很好，但它們?nèi)源嬖谝恍﹩栴}需要解決：如果自整定要以模型為基礎(chǔ)，為了PID參數(shù)的重新整定在線尋找和保持好過程模型是較難的。閉環(huán)工作時，要求在過程中插入一個測試信號。這個方法會引起擾動，所以基于模型的PID參數(shù)自整定在工業(yè)應(yīng)用不是太好。如果自整定是基于控制律的，經(jīng)常難以把由負載干擾引起的影響和過程動態(tài)特性變化引起的影響區(qū)分開來，因此受到干擾的影響控制器會產(chǎn)生超調(diào)，產(chǎn)生一個不必要的自適應(yīng)轉(zhuǎn)換。另外，由于基于控制律的系統(tǒng)沒有成熟的穩(wěn)定性分析方法，參數(shù)整定可靠與否存在很多問題。因此，許多自身整定參數(shù)的PID控制經(jīng)常工作在自動整定模式而不是連續(xù)的自身整定模式。自動整定通常是指根據(jù)開環(huán)狀態(tài)確定的簡單過程模型自動計算PID參數(shù)。但仍不可否認PID也有其固有的缺點：PID在控制非線性、時變、耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的復(fù)雜過程時，工作地不是太好。最重要的是，如果PID控制器不能控制復(fù)雜過程，無論怎么調(diào)參數(shù)都沒用。雖然有這些缺點，PID控制是最簡單的有時卻是最好的控制方法。 PID的控制規(guī)律PID控制就是對偏差信號進行比例、積分、微分運算后，形成的一種控制規(guī)律。在模擬控制系統(tǒng)中,控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。系統(tǒng)由模擬PID控制器和被控對象組成。 PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值rin(t)與實際輸出值yout(t)構(gòu)成控制偏差 error(t)=rin(t)yout(t) PID的控制規(guī)律為： 也可以寫成傳遞函數(shù)的形式 其中，—比例系數(shù)，—積分時間常數(shù)；—微分時間常數(shù)。 簡單的說來，PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：①比例環(huán)節(jié)：成比例的反映控制系統(tǒng)的偏差信號error(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。②積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之越強。③微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號變的太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減少調(diào)節(jié)時間。4 常用的PID控制系統(tǒng)單回路PID控制系統(tǒng)系統(tǒng)中只有一個PID控制器,. 串級PID控制 ，系統(tǒng)中有兩個PID控制器，稱為副調(diào)節(jié)傳遞函數(shù)，包圍的內(nèi)環(huán)節(jié)稱為副回路。稱為主調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)，包圍的外環(huán)稱為主回路。主調(diào)節(jié)器的輸出控制量作為副回路的給定量。串級控制系統(tǒng)的計算順序是先主回路(PID1)，后副回路(PID2)。控制方式有兩種：一種是異步采樣控制，即主回路的采樣控制周期