北師大版高考數學一輪總復習124歸納與類比(編輯修改稿)
2024-12-25 01:41 本頁面
【文章內容簡介】 ， f2( x ) ＝ f ( f1( x )) ＝x3 x ＋ 4， f3( x ) ＝ f ( f2( x )) ＝x7 x ＋ 8， 歸納推理 f4( x ) ＝ f ( f3( x )) ＝x15 x ＋ 16， ? 根據以上事實，由歸納推理可得： 當 n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 時， fn( x ) ＝ f ( fn － 1( x )) ＝ _______ _. ( 2) 在數列 { an} 中， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝2 an2 ＋ an， n ∈ N ＋ ，猜想這個數列的通項公式為 ________ ． [ 思路分析 ] ( 1) 由系數特點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出結論 ； ( 2)由 a1＝ 1 ，歸納出 a2， a3， ? ，從而猜想出數列的通項公式． [ 規(guī)范解答 ] (1) 依題意，先求函數結果的分母中 x 項系數所組成數列的通項公式，由 1,3,7,15 ， ? ，可推知該數列的通項公式為 an＝ 2n－ 1. 又函數結果的分母中常數項依次為2,4,8,16 ， ? ，故其通項公式為 bn＝ 2n. 所以當 n ≥ 2 時， fn( x ) ＝ f ( fn － 1( x )) ＝x? 2n－ 1 ? x ＋ 2n. (2) 在 { an} 中， a1＝ 1 ， a2＝2 a12 ＋ a1＝23， a3＝2 a22 ＋ a2＝12＝24， a4＝2 a32 ＋ a3＝25， ? ， 所以猜想 { an} 的通項公式 an＝2n ＋ 1. 這個猜想是正確的，證明如下： 因為 a1＝ 1 ， an ＋ 1＝2 an2 ＋ an， 所以1an ＋ 1＝2 ＋ an2 an＝1an＋12， 即1an ＋ 1－1an＝12，所以數列 {1an} 是以1a1＝ 1 為首項， 12為公差的等差數列， 所以1an＝ 1 ＋ ( n － 1)12＝12n ＋12， 所以通項公式 an＝2n ＋ 1. [ 答案 ] ( 1)x? 2n－ 1 ? x ＋ 2n ( 2) an＝2n ＋ 1 [ 方法總結 ] 運用歸納推理時的一般步驟：首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性 ( 特殊的共性或一般規(guī)律 ) ；然后 ，把這種相似性推廣到一個明確表述的一般命題 ( 猜想 ) ；最后，對所得出的一般性命題進行檢驗．在數學上，檢驗的標準是能否進行嚴格的證明． 已知經過計算和驗證有下列正確的不等式： 3 ＋ 172 10 ， ＋ 2 10 ， 8 ＋ 2 ＋ 12 － 2 2 10 ，根據以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對兩不等正實數 m ， n 都成立的條件不等式 ____________________ ． [ 答案 ] 當 m ＋ n ＝ 20 且 m ≠ n 時，有 m ＋ n 2 10 [ 解析 ] 觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個根式的被開方數的和等于 20 ，不等式的右邊都是 2 10 ，因此對兩不等正實數 m ， n 都成立條件不等式是：當 m ＋ n ＝ 20 時，有m ＋ n 2 10 . 類比推理 已知命題：平面直角坐標系 x Oy 中， △ ABC 頂點 A ( － p, 0) 和 C ( p, 0) ，頂點 B 在橢圓x2m2 ＋y2n2 ＝ 1( m n 0 ， p ＝m2－ n2)
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