人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(編輯修改稿)
2025-12-24 01:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 y ′ ＝ 0 ，解得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2. 當(dāng) x 變化時， y ′ ， y 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2 , 2 ) 2 (2 ，＋ ∞ ) y ′ － 0 ＋ 0 － y 極小值－ 10 極大值 22 當(dāng) x ＝－ 2 時， y 有極小值，并且 y 極小值 ＝ f ( － 2) ＝－ 10 ； 而當(dāng) x ＝ 2 時， y 有極大值，并且 y 極大值 ＝ f ( 2 ) ＝ 2 2 . [ 方法總結(jié) ] 判斷一個函數(shù)是否有極值，不能只求解 y ′＝ 0 ，根據(jù)函數(shù)極值的定義，函數(shù)在某點處存在極值，則應(yīng)在該點的左右鄰域是單調(diào)的，并且單 調(diào)性應(yīng)相反． 求函數(shù) f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x＋ 5的極值 ． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 x － 9 ＝ 3( x2－ 2 x － 3) ． 解方程 x2－ 2 x － 3 ＝ 0 ，得 x1＝－ 1 ， x2＝ 3. 當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 , 3 ) 3 (3 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 極大值 極小值 因此，當(dāng) x ＝－ 1 時， f ( x ) 有極大值，且 f ( － 1) ＝ 10 ； 當(dāng) x ＝ 3 時， f ( x ) 有極小值，且 f ( 3 ) ＝－ 2 2 . 含參數(shù)的極值問題 已知 f ( x ) ＝ ax 5 － bx 3 ＋ c 在 x ＝ 177。1 處的極大值為 4 ，極小值為 0 ，試確定 a 、 b 、 c 的值． [ 分析 ] 本題的關(guān)鍵是理解 “ f ( x ) 在 x ＝ 177。1 處的極大值為 4 ，極小值為 0 ” 的含義．即 x ＝ 177。1 是方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的兩個根且在根x ＝ 177。1 處 f ′ ( x ) 的取值左右異號． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 5 ax 4 － 3 bx 2 ＝ x 2 (5 ax 2 － 3 b ) ． 由題意， f ′ ( x ) ＝ 0 應(yīng)有根 x ＝ 177。1 ，故 5 a ＝ 3 b ， 于是 f ′ ( x ) ＝ 5 ax 2 ( x 2 － 1) ( 1 ) 當(dāng) a ＞ 0 時， x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1, 0) 0 ( 0,1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y 極大值 無極值 極小值 由表可見：????? 4 ＝ f ? － 1 ? ＝－ a ＋ b ＋ c0 ＝ f ? 1 ? ＝ a － b ＋ c， 又 5 a ＝ 3 b ，解之得： a ＝ 3 ， b ＝ 5 ， c ＝ 2. ( 2 ) 當(dāng) a ＜ 0 時，同理可得 a ＝－ 3 ， b ＝－ 5 ， c ＝ 2. [ 方法總結(jié) ] 緊扣 導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系對題目語言進行恰當(dāng)合理的翻譯、轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵． 已知函數(shù) f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c， 當(dāng) x＝－ 1時 ， 取得極大值7；當(dāng) x＝ 3時 ， 取得極小值 ， 求這個極小值及 a， b， c的值 ． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b . 據(jù)題意，－ 1 , 3 是方程 3 x2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的兩個根， 由韋達定理得????? － 1 ＋ 3 ＝－2 a3? － 1 ? 3 ＝b3， ∴ a ＝－ 3 ， b ＝－ 9. ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x2－ 9 x ＋ c . ∵ f ( － 1) ＝ 7 ， ∴ c ＝ 2 ， 極小值 f ( 3 ) ＝ 33－ 3 32－ 9 3 ＋ 2 ＝－ 2 5 . ∴ 極小值為－ 25 ， a ＝－ 3 ， b ＝－ 9 ， c ＝ 2. 函數(shù)的最大值與最小值 求函數(shù) f ( x ) ＝ x 3 － 2 x 2 ＋ 1 在區(qū)間 [ － 1 ,2 ] 上的最大值與最小值． [ 分析 ] 首先求 f ( x ) 在 ( － 1 , 2 ) 內(nèi)的極值，然后將 f ( x ) 的各極值與 f ( － 1) ， f ( 2 ) 比較，其中最大的 一個是最大值，最小的一個是最小值． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 4 x . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，有 3 x2－ 4 x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 ，43. 當(dāng) x 變化時， f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的變化情況如下表： x － 1 ( － 1 , 0 ) 0 ????????0 ，43 43 ?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1