人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章推理與證明(編輯修改稿)
2024-12-23 20:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋ c ≤ 0. 所以 ( x2－ y － z ＋π2) ＋ ( y2－ x － z ＋π3) ＋ ( z2－ x － y ＋π4) ＝ x2－ 2 x＋ y2－ 2 y ＋ z2－ 2 z ＋13π12≤ 0 ，即 ( x － 1)2＋ ( y － 1) ＋ ( z － 1)2≤ 3 －1312π. 因?yàn)?( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0 ，所以 3 －13π12≥ 0 ，即36 ≥ 13π ，這與基本事實(shí) 3613π 相矛盾． 故 a ， b ， c 中至多有兩個(gè)小于或等于零 . 用數(shù)學(xué)歸納法證題 數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵 “ 一湊假設(shè)，二湊結(jié) 論 ” ，其在高考中有著廣泛的考查猜想、歸納等培養(yǎng)探索問(wèn)題的能力，因此成為高考的考查重點(diǎn)，要引起足夠的重視． 求證： 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n( n ∈ N*) ． [ 分析 ] 利用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)要弄清等式兩端的變化結(jié)構(gòu)，只有這樣，方可搞清由 k → k ＋ 1 時(shí)，所增 加的是哪些項(xiàng)． [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ 1 － 12 ＝12 ， 右邊＝12 ，等式成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)， 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k成立， 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＋12 ? k ＋ 1 ? － 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1k ＋ 2＋1k ＋ 3＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1＋????????1k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1? k ＋ 1 ? ＋ 1＋1? k ＋ 1 ? ＋ 2＋ ? ＋1? k ＋ 1 ? ＋ k＋12 ? k ＋ 1 ? . 所以 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立． 由 (1) 和 (2 ) 知，對(duì)于任何 n ∈ N*等式都成立． [ 方法總結(jié) ] 數(shù)學(xué)歸納法對(duì)無(wú)窮多個(gè)特殊命題的一一驗(yàn)證成為可能，這體現(xiàn)了有限 ( 兩步 ) 與無(wú)限 ( 無(wú)窮多次驗(yàn)證 ) 對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系 . 歸納 、 猜想 、 證明 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足 a n ＋ 1 ＝ a2n － na n ＋ 1 ， n ∈ N*. (1) 當(dāng) a 1 ＝ 2 時(shí)，求 a 2 ， a 3 ， a 4 ，并由此猜想出 a n 的一個(gè)通項(xiàng)公式； (2) 當(dāng) a 1 ≥ 2 時(shí)，證明對(duì)所有的 n ≥ 1 ，有 a n ≥ n ＋ 1. [ 分析 ] (1) 欲求 a n 的通項(xiàng)公式，從特殊歸納出一般性結(jié)論． (2) 利用數(shù)學(xué)歸納法證明． [ 解析 ] (1) 解：由 a1＝ 2 ，得 a2＝ a21－ a1＋ 1 ＝ 3. 由 a2＝ 3 ，得 a3＝ a22－ 2 a2＋ 1 ＝ 4. 由 a3＝ 4 ，得 a4＝ a23－ 3
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