人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第3章32第2課時復(fù)數(shù)的乘法與除法(編輯修改稿)
2024-12-23 20:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 |n； ( 5 ) |z |＝ 1 ? z z ＝ 1 ； ( 6 ) |z |2＝ | z |2＝ |z2|＝ | z2|＝ z z－. 設(shè) z ＝12＋32i ( i 是數(shù)單位 ) ，則 z ＋ 2 z2＋ 3 z3＋ 4 z4＋ 5 z5＋ 6 z6＝ ( ) A ． 6 z B ． 6 z2 C ． 6 z－ D ． － 6 z [ 答案 ] C [ 解析 ] z2＝－12＋32i ， z3＝－ 1 ， z4＝－12－32i ， z5＝12－32i ， z6＝ 1 ， ∴ 原式 ＝ (12＋32i) ＋ ( － 1 ＋ 3 i) ＋ ( － 3) ＋ ( － 2 － 2 3 i)＋ (52－5 32i) ＋ 6 ＝ 3 － 3 3 i ＝ 6(12－32i) ＝ 6 z－. 課堂典例探究 復(fù)數(shù)的乘除法 計算下列各題． ( 1 ) ( 4 － i5)(6 ＋ 2i7) ＋ (7 ＋ i11) ( 4 － 3 i ) ； ( 2 )? 1 ＋ i ?71 － i＋? 1 － i ?71 ＋ i－? 3 － 4i ?? 2 ＋ 2i ?34 ＋ 3i； ( 3 ) ( －32－12i)12＋ (2 ＋ 2i1 － 3 i)8. [ 解析 ] ( 1 ) 原式＝ 2 ( 4 － i ) ( 3 － i) ＋ (7 － i ) ( 4 － 3 i ) ＝ 2 ( 1 2 － 3i － 4i ＋ i2) ＋ ( 2 8 － 4i － 2 1 i ＋ 3i2) ＝ 2 ( 1 1 － 7 i ) ＋ 2 5 ( 1 － i) ＝ 47 － 39 i. ( 2 ) 原式＝ [ ( 1 ＋ i)2]31 ＋ i1 － i＋ [(1 － i)2]31 － i1 ＋ i－8 ? 3 － 4i ?? 1 ＋ i ?2? 1 ＋ i ?? 3 － 4i ? i ＝ ( 2 i )3i ＋ ( － 2 i )3( － i) －8 2 i ? 1 ＋ i ?i ＝ 8 ＋ 8 － 16 － 1 6 i ＝－ 1 6 i . ( 3 ) 原式＝ ( － i)12( －32－12i)12＋ (1 ＋ i12－32i)8 ＝ ( －12＋32i)12＋[ ? 1 ＋ i ?2]4 ?12－32i ?[ ?12－32i ?3]3 ＝ [( －12＋32i)3]4＋ ( － 8 ＋ 8 3i ) ＝ 1 － 8 ＋ 8 3i ＝－ 7 ＋ 8 3i . [ 方法總結(jié) ] ( 1 ) 復(fù)數(shù)的運算順序與實數(shù)的運算順序相同，都是先進行高級運算 ( 乘方、開方 ) ，再進行次級運算 ( 乘、除 ) ，最后進行低級運算 ( 加、減 ) ．如 i 的冪運算，先利用 i 的冪的周期性，將其次數(shù)降低，然后再進行四則運算． ( 2 ) 對于復(fù)數(shù)的運算，除應(yīng)用四則運算法則之外，對于一些簡單的算式要知道其結(jié)果，計算過程就可以簡化，起到快速簡捷出錯少的效果，如下結(jié)果，要記住． ① ( 1 177。 i )2＝ 177。 2 i ； 1 ＋ i1 － i＝ i ；1 － i1 ＋ i＝－ i ；1i＝－ i. ② 若 ω ＝－12＋32i ，則 ω3＝ 1 ， ω2＝ ω ＝1ω， 1 ＋ ω ＋ ω2＝0. ( 1 ) ( 2 0 1 5 湖南理， 1) 已知? 1 － i ?2z＝ 1 ＋ i ( i 為虛數(shù)單位 ) ，則復(fù)數(shù) z ＝ ( ) A ． 1 ＋ i B ． 1 － i C ．－ 1 ＋ i D ． － 1 － i [ 答案 ] D [ 解析 ] 由題意得， z ＝ ? 1 － i ?21 ＋ i ＝－ 2i1 ＋ i ＝－ 1 － i ，故選 D. ( 2 ) ( 2 0 1 5 會寧縣期中 ) 復(fù)數(shù) z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i的共軛復(fù)數(shù)是 ( ) A ． 2 ＋ i B ． 2 － i C ．－ 1 ＋ i D ． － 1 － i [ 答案 ] D [ 解析 ] 本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算以及共軛復(fù)數(shù)的求法． z ＝－ 3 ＋ i2 ＋ i＝? － 3 ＋ i ?? 2 － i ?? 2 ＋ i ?? 2 － i ?＝－ 5 ＋ 5i5＝－ 1 ＋ i ，故 z 的共軛復(fù)數(shù)為－ 1 － i. 在將復(fù)數(shù)的分母實數(shù)化時，要注意 i 前的系數(shù)的正負． ( 3 ) 計算 1i ( 2 ＋ 2 i) 5 ＋????????11 ＋ i4 ＋????????1 ＋ i1 － i7 . [ 解析 ] 原式＝－ i ( 2 )5 [ ( 1 ＋ i)2]2 ( 1 ＋ i) ＋????????1? 1 ＋ i ?22＋ i7＝16 2 ( － 1 ＋ i)
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