人教b版高中數學選修2-2第1章12第1課時常數函數與冪函數的導數(編輯修改稿)
2024-12-23 20:06 本頁面
【文章內容簡介】 意實數冪都成立． 注意： ( 1 ) 函數 y ＝ c ， y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ x－ 1， y ＝ x12 的導數，以及冪函數 y ＝ xα( α ∈ Q ) 的導數公式，在以后的求導數中可直接運用，不必再利用導數定義去求，但要理解其推導過程． ( 2 ) 對于 y ＝nxm型函數的求導，要先化成 y ＝ xmn型，然后再求導，即 y ′ ＝ ( xmn ) ′ ＝mnxmn － 1. 曲線 y＝ xn在 x＝ 2處的導數為 12，則 n等于 ( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [答案 ] C [解析 ] ∵ y′＝ nxn－ 1， ∴ y′|x＝ 2＝ n2n－ 1＝ 12.∴ n＝ 3. 課堂典例探究 求冪函數的導數 求下列函數的導數： ( 1 ) y ＝ x12； ( 2 ) y ＝1x4 ； ( 3 ) y ＝5x3. [ 分析 ] 將 y ＝1x 4 寫成 y ＝ x－ 4 ， y ＝ 5 x 3 寫成 y ＝ x35 ，直接使用冪函數的求導公式求導． [ 解析 ] ( 1 ) y ′ ＝ ( x12) ′ ＝ 12 x11. ( 2 ) y ′ ＝????????1x4 ′ ＝ ( x－ 4) ′ ＝－ 4 x－ 5＝－4x5 . ( 3 ) y ′ ＝ (5x3) ′ ＝????????x35 ′ ＝35x－25 ＝355x2 . [ 方法總結 ] 求冪函數的導數的關鍵是正確運用冪的運算化為 y ＝ x a 的形式． 求下列函數的導數： ( 1 ) y ＝ x 10 ； ( 2 ) y ＝1x 7 ； ( 3 ) y ＝5x 2 . [ 解析 ] ( 1 ) y ′ ＝ ( x10) ′ ＝ 10 x10 － 1＝ 10 x9. ( 2 ) y ′ ＝ ( x－ 7) ′ ＝－ 7 x－ 7 － 1＝－ 7 x－ 8＝－7x8 . ( 3 ) y ′ ＝ (5x2) ′ ＝ ( x25 ) ′ ＝25x25 － 1＝25x－35 . 求曲線在某一點處的導數 求函數 f ( x ) ＝ 3 x 2 在 x ＝ 1 處的導數． [ 分析 ] 先求 f ′ ( x ) ，再求 f ′
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