人教b版高中數(shù)學選修2-2第2章22第2課時反證法(編輯修改稿)
2024-12-23 20:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 c＝ z2－ 2 x ＋π6. 求證： a 、 b 、 c 中至少有一個大于 0. [ 證明 ] 假設 a ， b ， c 都不大于 0 ， 即 a ≤ 0 ， b ≤ 0 ， c ≤ 0 ，則 a ＋ b ＋ c ≤ 0. 而 a ＋ b ＋ c ＝ x2－ 2 y ＋π2＋ y2－ 2 z ＋π3＋ z2－ 2 x ＋π6 ＝ ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2＋ π － 3. ∵ π － 30 ，且 ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0. ∴ a ＋ b ＋ c 0 ，這與 a ＋ b ＋ c ≤ 0 矛盾， 因此 a ， b ， c 中至少有一個大于 0. 用反證法證明唯一性命題 求證：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行． [ 證明 ] 已知：點 P 在直線 a 外． 求證：過點 P 與直線 a 平行的直線有且只有一條． 證明： ∵ 點 P 在直線 a 外， ∴ 點 P 和直線 a 確定一個平面，設該平面為 α ，在平面 α 內(nèi)，過點 P 作直線 b ，使得 b ∥ a ，則過點 P 有一條直線與 a 平行． 假設過點 P 還有一條直線 c 與 a 平行． ∵ a ∥ b ， a ∥ c ， ∴ b ∥ c ，這與 b 、 c 相交于點 P 矛盾，故假設不成立． [ 方法總結 ] 證明 “ 有且只有一個 ” 的問題，需要證明兩個命題 ，即存在性和唯一性．當證明結論以 “ 有且只有 ” 、 “ 只有一個 ” 、 “ 唯一存在 ” 等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性較簡單明了． 證明方程 2x＝ 3有且只有一個實根 ． [ 證明 ] ∵ 2x＝ 3 ， ∴ x ＝ log 2 3 ， 這說明方程有一個根． 下面用反證法證明方程 2x＝ 3 的根是唯一的．假設方程 2x＝ 3 有兩個根 b 1 ， b 2 ( b 1 ≠ b 2 ) ． 則 2 b 1 ＝ 3,2 b 2 ＝ 3. 兩式相除得： 2 b 1 － b 2 ＝ 1. 如果 b 1 － b 2 0 ，則 2 b 1 － b 2 1 ，這與 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 如果 b 1 － b 2 0 ，則 2 b 1 － b 2 1 ，這也與 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 因此 b 1 － b 2 ＝ 0 ，則 b 1 ＝ b 2 . 這就同 b 1 ≠ b 2 相矛盾． 如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且只有一個實根 . 用反證法證明否定命題 求證拋物線上任取四點所組成的四邊形不可能是平行四邊形 ． 已知：如圖所示 ， A， B， C， D是拋物線 y2＝ 2px(p0)上的任意四點 ， 其坐標分別是 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，C(x3， y3)， D(x4， y4)． 連接 AB， BC，CD， DA， 求證：四邊形 ABCD不可能是平行四邊形 ． [分析 ] 解答本題的關鍵在于通過假設 ， 根據(jù)平行四邊形對邊所在直線的斜率相等 ， 推出結論與已知條件相矛盾 ， 從而肯定原命題正確 ． [ 解析 ] 由題意得，直線 AB 的斜
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