人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章22第2課時(shí)反證法-文庫吧在線文庫
【正文】 [ 證明 ] 已知：點(diǎn) P 在直線 a 外． 求證：過點(diǎn) P 與直線 a 平行的直線有且只有一條． 證明： ∵ 點(diǎn) P 在直線 a 外， ∴ 點(diǎn) P 和直線 a 確定一個(gè)平面，設(shè)該平面為 α ，在平面 α 內(nèi)，過點(diǎn) P 作直線 b ，使得 b ∥ a ，則過點(diǎn) P 有一條直線與 a 平行． 假設(shè)過點(diǎn) P 還有一條直線 c 與 a 平行． ∵ a ∥ b ， a ∥ c ， ∴ b ∥ c ，這與 b 、 c 相交于點(diǎn) P 矛盾，故假設(shè)不成立． [ 方法總結(jié) ] 證明 “ 有且只有一個(gè) ” 的問題，需要證明兩個(gè)命題 ，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以 “ 有且只有 ” 、 “ 只有一個(gè) ” 、 “ 唯一存在 ” 等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性較簡單明了． 證明方程 2x＝ 3有且只有一個(gè)實(shí)根 ． [ 證明 ] ∵ 2x＝ 3 ， ∴ x ＝ log 2 3 ， 這說明方程有一個(gè)根． 下面用反證法證明方程 2x＝ 3 的根是唯一的．假設(shè)方程 2x＝ 3 有兩個(gè)根 b 1 ， b 2 ( b 1 ≠ b 2 ) ． 則 2 b 1 ＝ 3,2 b 2 ＝ 3. 兩式相除得： 2 b 1 － b 2 ＝ 1. 如果 b 1 － b 2 0 ，則 2 b 1 － b 2 1 ，這與 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 如果 b 1 － b 2 0 ，則 2 b 1 － b 2 1 ，這也與 2 b 1 － b 2 ＝ 1 相矛盾． 因此 b 1 － b 2 ＝ 0 ，則 b 1 ＝ b 2 . 這就同 b 1 ≠ b 2 相矛盾． 如果方程的根多于兩個(gè)，同樣可推出矛盾． 故 2x＝ 3 有且只有一個(gè)實(shí)根 . 用反證法證明否定命題 求證拋物線上任取四點(diǎn)所組成的四邊形不可能是平行四邊形 ． 已知：如圖所示 ， A， B， C， D是拋物線 y2＝ 2px(p0)上的任意四點(diǎn) ， 其坐標(biāo)分別是 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，C(x3， y3)， D(x4， y4)． 連接 AB， BC，CD， DA， 求證：四邊形 ABCD不可能是平行四邊形 ． [分析 ] 解答本題的關(guān)鍵在于通過假設(shè) ， 根據(jù)平行四邊形對邊所在直線的斜率相等 ， 推出結(jié)論與已知條件相矛盾 ， 從而肯定原命題正確 ． [ 解析 ] 由題意得，直線 AB 的斜率為 k AB ＝y(tǒng) 2 － y 1x 2 － x 1＝2 py 1 ＋ y 2，同理 k BC ＝2 py 3 ＋ y 2， k C D ＝2 py 4 ＋ y 3， k DA＝2 py 1 ＋ y 4. 假設(shè)四邊形 ABC D 為平行四邊形，則有 k AB ＝ k CD ， k BC ＝ k DA . 即有????? y2＋ y1＝ y3＋ y4 ①y3＋ y2＝ y1＋ y4 ②， 由 ① － ② ，得 y1－ y3＝ y3－ y1， ∴ y1＝ y3. 從而有 y2＝ y4，則 x1＝y(tǒng)212 p＝y(tǒng)232 p＝ x3. 同理 x2＝ x4.
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