人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章14第1課時曲邊梯形面積與定積分(編輯修改稿)
2024-12-23 20:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( u )d u ＝????abf ( t )d t＝ ? ( 稱為積分形式的不變性 ) ． ( 2 ) 用定義求定積分的常用一般步驟是： ① 分割： n 等分區(qū)間 [ a ， b ] ； ② 近似代替：取點 ξi∈ [ xi － 1， xi] ； ③ 求和： ?i ＝ 1nf ( ξi)b － an； ④ 取極限：????abf ( x )d x ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 1nf ( ξi)b － an. 說明： n 等分區(qū)間 [ a ， b ] ，則 Δ xi＝b － an， λ ＝b － an，當 λ 趨于 0 時，即 n 趨于無窮大，并注意當 ξi∈ [ xi － 1， xi] 時， i的取值是從 1 到 n ，而非定義中的從 0 到 n － 1 ，但與定義中實質(zhì)相同，定義中 ξi∈ [ xi， xi ＋ 1] ． ( 3 ) 在定積分????abf ( x )d x 的概念中，一般假設(shè) a b ，為今后使用的方便，對于 a ＝ b 和 a b 的情況特作如下的規(guī)定： 當 a ＝ b 時，????abf ( x )d x ＝ 0 ； 當 a b 時，????baf ( x )d x ＝ －????abf ( x )d x . 當定積分的上下限相同時，定積分的值為 0 ；當交換定積分的上下限時，定積分的絕對值不變，但相差一個負號． ( 4 ) 定積分????abf ( x )d x 就是積分和式的極限 l i mλ → 0?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi，而????abf ( x )d x 只是這種極限的一種符號，讀作 “ 從 a 到 b 函數(shù) f ( x ) 的定積分 ” ． 2 ．關(guān)于定積分的幾何意義 ( 1 ) 定積分表示面積． 從幾何上看，如果在空 間 [ a ， b ] 上函數(shù) f ( x ) 連續(xù)且恒有f ( x ) ≥ 0 ，那么定積分????abf ( x )d x 表示由直線 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， y ＝0 和曲線 y ＝ f ( x ) 所圍成的曲邊梯形面積，這就是定積分????abf ( x )d x的幾何意義． (2)定積分表示面積的代數(shù)和． 以上考慮的問題中被積函數(shù)的值是非負的，定積分的值也為非負的，如果被積函數(shù)是負的，函數(shù)曲線在 x軸之下，定積分的值就是曲邊梯形的面積的相反數(shù)．當被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負時，定積分就是 x軸之上的面積與 x軸之下的面積相反數(shù)的代數(shù)和． (3)特別注意：定積分可以是面積，體積，功，路程，壓力，還有更多的實際意義． 利用定積分的幾何意義求定積分的步驟 (1)準確畫出圖形． (2)通過解方程組求出交點坐標，確定積分的上、下限． (3)確定被積函數(shù)及積分變量，確定時可以考慮下列因素． ① 被積函數(shù)的原函數(shù)易求； ② 較少的分割區(qū)域； ③ 積分的上、下限比較簡單． ( 4 ) 寫出定積分，注意當 f ( x ) ≥ 0 時， S ＝????ab f ( x )d x ；而當f ( x ) ≤ 0 時， S ＝－????ab f ( x )d x . 利用定積分的幾何意義求定積分： ???－ 224 － x 2 d x . [ 解析 ] ∵ 被積函數(shù)的曲線是圓心在原點，半徑為 2 的半圓，由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積， ∴ 有 ???－ 224 － x2d x ＝π 222＝ 2 π . 課堂典例探究 利用定積分的定義，求由直線 x＝ 1， x＝ 2， y＝0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積． [分析 ] 將區(qū)間 [1,2]平均分為 n份，將曲邊梯形分成 n部分，用矩形面積近似代替每個小曲邊梯形的面積，然后求各曲邊梯形面積的和，最后取極限、得結(jié)論． 曲邊梯形面積的求法 [解析 ] 如圖所示 ． 把區(qū)間 [ 1 , 2 ] 等分成 n 個小區(qū)間????????1 ，n ＋ 1n，????????n ＋ 1n，n ＋ 2n， ? ，????????n ＋ in，n ＋ i＋ 1n，
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