人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時《曲邊梯形面積與定積分》-預(yù)覽頁
【正文】 的幾何意義． (2)定積分表示面積的代數(shù)和． 以上考慮的問題中被積函數(shù)的值是非負(fù)的，定積分的值也為非負(fù)的，如果被積函數(shù)是負(fù)的，函數(shù)曲線在 x軸之下，定積分的值就是曲邊梯形的面積的相反數(shù)．當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上有正、有負(fù)時，定積分就是 x軸之上的面積與 x軸之下的面積相反數(shù)的代數(shù)和． (3)特別注意：定積分可以是面積，體積，功，路程，壓力，還有更多的實際意義． 利用定積分的幾何意義求定積分的步驟 (1)準(zhǔn)確畫出圖形． (2)通過解方程組求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限． (3)確定被積函數(shù)及積分變量，確定時可以考慮下列因素． ① 被積函數(shù)的原函數(shù)易求； ② 較少的分割區(qū)域； ③ 積分的上、下限比較簡單． ( 4 ) 寫出定積分，注意當(dāng) f ( x ) ≥ 0 時， S ＝????ab f ( x )d x ；而當(dāng)f ( x ) ≤ 0 時， S ＝－????ab f ( x )d x . 利用定積分的幾何意義求定積分： ???－ 224 － x 2 d x . [ 解析 ] ∵ 被積函數(shù)的曲線是圓心在原點，半徑為 2 的半圓，由定積分的幾何意義知此積分計算的是半圓的面積， ∴ 有 ???－ 224 － x2d x ＝π1n， ? ，????????2 n － 1n316( n － 1) n (2 n － 1) ＋14( n － 1)2n2] ， ∴ Sn＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 0n － 1 ????????n ＋ in3 32＝92π. 由定積分的幾何意義知???－ 339 － x2d x ＝92π. (2) 在平面上， f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 為一條直線 . ????03(2 x ＋ 1)d x 表示直線 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， x ＝ 0 ， x ＝ 3 圍成的直角梯形 OAB C 的面積，如圖 (2) ． 其面積為 S ＝12(1 ＋ 7) 3 ＝ 12. 根據(jù)定積分的幾何意義知????03(2 x ＋ 1)d x ＝ 12. [ 方法總結(jié) ] 利用定積分的幾何意義求定積分就必須準(zhǔn)確理解其幾何意義，同時要 合理利用函數(shù)的奇偶性、對稱性來解決問題，另外，結(jié)合圖形更直觀形象的輔助作題． 利用定積分的性質(zhì)和幾何意義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積． ( 1 ) y ＝ 0 ， y ＝ x ， x ＝ 2 ； ( 2 ) y ＝ x － 2 ， x ＝ y2. [ 解析 ] ( 1 ) 曲線所圍成的區(qū)域如圖 ① 所示，設(shè)此面積為S ，則 S ＝????02 ( x － 0 ) d x ＝????02 x d x . ( 2 ) 曲線所圍成的平面區(qū)域如圖 ② 所示． S ＝ A 1 ＋ A 2 ， A 1 是由 y ＝ x ， y ＝－ x ， x ＝ 1 圍成的圖形的面積． A 2 是由 y ＝ x ， y ＝ x － 2 和 x ＝ 1 圍成的圖形的面積． ∴ A 1 ＝????01[ x － ( － x ) ] d x ， A 2 ＝????14[ x － ( x － 2 ) ] d x . ∴ S ＝????012 x d x ＋????14( x － x ＋ 2 ) d x . 用定積分的幾何意義求 ????－ 10x d x . [ 錯解 ] 由直線 x ＝ 0 ， x ＝－ 1 ， y ＝ 0 ， y＝ x 所圍成的圖形，如圖陰影部分所示，????－ 10x d x 表示該圖形的面積．所以????－ 10x d x ＝12 1 1＝12. [ 辨析 ] 要正確理解定積分的幾何意義，當(dāng) f ( x ) 0 時，????abf ( x )d x 表示面積的相反數(shù)． [ 正解 ] ????－ 10x d x ＝－ 12 1 1 ＝－ 12 . 定積分??????? 定積分的實際背景 ? 了解 ?????? 曲邊梯形的面積變力做功定積分的概念 ? 了解 ?????? 和式的極限定積分的幾何意義
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