【正文】 上有正、有負(fù)時(shí)，定積分就是 x軸之上的面積與 x軸之下的面積相反數(shù)的代數(shù)和． (3)特別注意：定積分可以是面積，體積，功，路程，壓力，還有更多的實(shí)際意義． 利用定積分的幾何意義求定積分的步驟 (1)準(zhǔn)確畫(huà)出圖形． (2)通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限． (3)確定被積函數(shù)及積分變量，確定時(shí)可以考慮下列因素． ① 被積函數(shù)的原函數(shù)易求； ② 較少的分割區(qū)域； ③ 積分的上、下限比較簡(jiǎn)單． ( 4 ) 寫(xiě)出定積分，注意當(dāng) f ( x ) ≥ 0 時(shí)， S ＝????ab f ( x )d x ；而當(dāng)f ( x ) ≤ 0 時(shí)， S ＝－????ab f ( x )d x . 利用定積分的幾何意義求定積分： ???－ 224 － x 2 d x . [ 解析 ] ∵ 被積函數(shù)的曲線(xiàn)是圓心在原點(diǎn)，半徑為 2 的半圓，由定積分的幾何意義知此積分計(jì)算的是半圓的面積， ∴ 有 ???－ 224 － x2d x ＝π導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 定積分與微積分基本定理 第 1課時(shí) 曲邊梯形面積與定積分 第一章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的．你看，在我們生活的大自然中，各種植物的葉子千差萬(wàn)別，但它們具有相同的特點(diǎn)：葉子的邊緣都是曲線(xiàn)形狀，好似兩條曲線(xiàn)相交而成．同樣，花卉的花瓣也是曲線(xiàn)形狀的． 那么，怎樣計(jì)算這種由曲線(xiàn)圍成的圖形的面積呢？ 1到 n的自然數(shù)的平方和等于多少？ 2．函數(shù) f(x)在 x＝ x0處導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 答案： 1 . 12＋ 22＋ ? ＋ n2＝16n ( n ＋ 1 ) ( 2 n ＋ 1) ． 2 ． f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x 一、定積分的實(shí)際背景 1．曲邊梯形的概念 如圖 (1)，陰影部分類(lèi)似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線(xiàn) y＝f(x)的一段．我們把由直線(xiàn) x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0和曲線(xiàn) y＝ f(x)所圍成的圖形稱(chēng)為曲邊梯形． 注意： 曲邊梯形的面積并不是一個(gè)孤立的概念 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 有密切的聯(lián)系 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 的主要區(qū)別是前者至少有一邊為曲線(xiàn)段 ， 后者所有邊都是直線(xiàn)段 ． 可用 “ 以直代曲 ” 的思想求曲邊梯形的面積 ． 2 ．求曲邊梯形的面積 求曲線(xiàn) y ＝ x2與 x ＝ 1 ， y ＝ 0 所圍成的區(qū)域的面積． 具體的解題過(guò)程可以分為四步： ( 1 ) 分割 如圖 ( 2 ) ，將區(qū)間 [ 0 , 1 ) 等分為 n 個(gè)小區(qū)間 [0 ，1n] ， [1n，2n] ， ? ， [i － 1n，in] ， ? ， [n － 1n，nn] ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δ x ＝in－i － 1n＝1n. ( 2 ) 近似代替 過(guò)各分點(diǎn)作 x 軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形，再分別以小區(qū)間左端點(diǎn)的縱坐標(biāo) (i － 1n)2為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是得到曲線(xiàn)下小矩形的面積依次為 02 222＝ 2 π . 課堂典例探究 利用定積分的定義，求由直線(xiàn) x＝ 1， x＝ 2， y＝0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積． [分析 ] 將區(qū)間 [1,2]平均分為 n份，將曲邊梯形分成 n部分，用矩形面積近似代替每個(gè)小曲邊梯形的面積，然后求各曲邊梯形面積的和，最后取極限、得結(jié)論． 曲邊梯形面積的求法 [解析 ] 如圖所示 ． 把區(qū)間 [ 1 , 2 ] 等分成 n 個(gè)小區(qū)間????????1 ，n ＋ 1n，????????n ＋ 1n，n ＋ 2n， ? ，????????n ＋ in，n ＋ i＋ 1n， ? ，????????n ＋ ? n － 1 ?n， 2 ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δ x ＝n ＋ i＋ 1n－n ＋ in＝1n，過(guò)各分點(diǎn)作 x 軸的垂線(xiàn)，把曲邊梯形 AB C D 分割成 n 個(gè)小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間的左端點(diǎn)的縱坐標(biāo)????????n ＋ in3為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是