人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時曲邊梯形面積與定積分-文庫吧資料
2024-11-25 20:10本頁面
【正文】 邊都是直線段 ． 可用 “ 以直代曲 ” 的思想求曲邊梯形的面積 ． 2 ．求曲邊梯形的面積 求曲線 y ＝ x2與 x ＝ 1 ， y ＝ 0 所圍成的區(qū)域的面積． 具體的解題過程可以分為四步： ( 1 ) 分割 如圖 ( 2 ) ，將區(qū)間 [ 0 , 1 ) 等分為 n 個小區(qū)間 [0 ，1n] ， [1n，2n] ， ? ， [i － 1n，in] ， ? ， [n － 1n，nn] ，每個小區(qū)間的長度為 Δ x ＝in－i － 1n＝1n. ( 2 ) 近似代替 過各分點作 x 軸的垂線，把曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形，再分別以小區(qū)間左端點的縱坐標(biāo) (i － 1n)2為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是得到曲線下小矩形的面積依次為 021n， (1n)21n， ? ， (n － 1n)21n＋ (1n)21n＋ ? ＋ (n － 1n)216n ( n － 1 ) ( 2 n － 1) ＝16(1 －16)(2 －1n) ． ( 4 ) 取極限 S ＝ l i mn→ ＋ ∞Sn＝ l i mn→ ＋ ∞ 16(1 －1n)(2 －1n) ＝13 即求曲邊梯形的面積分為四步：分割、近似代替、求和、取極限，即 S ＝ l i mn→∞?i ＝ 0n－1f ( xi)Δ x . 注意： ( 1 ) 分割用 “ 以直代曲 ” 的方法求曲邊梯形的面積時，在分割過程中，分割得越細(xì)，近似代替后所求面積的和就越接近曲邊梯形的面積． ( 2 ) 在 “ 近似代替 ” 中，教材在每一個小區(qū)間 [i － 1n，in] 上取左端點，是為了計算方便，事實上，可以取右端點或區(qū)間上的任意點，沒有統(tǒng) 一的要求．為了運算方便，通常取一些特殊點． 在求由 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0及 y＝ f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積 S時，在區(qū)間 [a， b]上等間隔地插入 n－ 1個分點，分別過這些分點作 x軸的垂線，把曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是 ( ) ① n個小曲邊梯形的面積和等于 S； ② n個小曲邊梯形的面積和小于 S； ③ n個小曲邊梯形的面積和大于 S； ④ n個小曲邊梯形的面積和與 S之間的大小關(guān)系不確定 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [答案 ] A [解析 ] 只有 ① 正確．故選 A. 3 ．求變力做功 如果物體在常力作用下沿直線運動，且力與位移同向，則力對物體所做的功 W 就是 F 與位移的乘積．但如果作用的力不是一個常數(shù)，而是隨著位移的不同而變化，即力 F 是位移 x 的函數(shù) F ＝ F ( x ) ，假定物體在變力 F 的作用下沿 x 軸由 x ＝ a 移動到b ( b a ) ，求這種變力所做的功是多少． 解： ( 1 ) 將 a 、 b 之間分割成 n 個小區(qū)間．設(shè) a ＝x0 x1 x2 ? xi － 1 xi ? xn＝ b . 記第 i個區(qū)間的長度為 Δ xi＝ xi ＋ 1－xi( i ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n － 1) ． 并在小區(qū)間 [ xi， xi ＋ 1] 內(nèi)任一點取 ξi. ( 2 ) 近似代替：如果區(qū)間很小，由 F 在 [ xi， xk ＋ 1] 內(nèi)變化不大，可近似看做常力，把 F ( ξi) 記作這個常力，則物體從 xi到 xi ＋ 1所做的功 Δ Wi≈ F ( ξi)Δ xi( i ＝ 0 , 1 , 2 ， ? ， n － 1) ． ( 3 ) 求和：整個區(qū)間 [ a ， b ] 上變力 F 所做的功就近似地表示為 W ≈ ?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi. ( 4 ) 取極限： W ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 0n － 1f ( ξ i)Δ x i . 即求變力做功也分四 步：分割、近似代替、求和、取極限，即 W ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 0n － 1f ( x i)Δ x i ( 這里取 ξ i＝ x i且把區(qū)間 [ a ， b ] n 等分 ) ． 如圖，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置 e m 處，求克服
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