人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第2課時(shí)微積分基本定理-文庫(kù)吧資料
2024-11-26 01:21本頁(yè)面
【正文】 . (2 ) 取 F ( x ) ＝ x2＋ x . ∵ ( x2＋ x ) ′ ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴????01(2 x ＋ 1 ) d x ＝ F ( 1 ) － F ( 0 ) ＝ (12＋ 1) － (02＋ 0) ＝ 2. ( 3 ) ∵ ( x2) ′ ＝ 2 x ， ( l n x ) ′ ＝1x， ∴????12????????2 x ＋1xd x ＝ (22－ 12) ＋ ( l n 2 － l n 1 ) ＝ 3 ＋ l n 2 . 用定積分求平面圖形的面積 求 y＝－ x2與 y＝ x－ 2圍成圖形的面積 S. [ 分析 ] 從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求出面積．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． [ 解析 ] 如圖，由????? y ＝ x － 2y ＝－ x2 得交點(diǎn) A ( － 2 ，－ 4) ， B (1 ，－ 1) ． ∴ 圍成圖形的面積 S ＝???? 21[ － x2－ ( x － 2)]d x ＝?? 1－ 2( － x2－ x ＋ 2)d x ＝??????－13x3－12x2＋ 2 x??? 1－ 2 ＝92. [方法總結(jié) ] 求平面圖形的面積的一般步驟： (1)畫(huà)圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形； (2)對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限； (3)確定被積函數(shù)； (4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和． 由直線 x ＝12， x ＝ 2 ，曲線 y ＝1x及 x 軸所圍圖形的面積為( ) A.154 B.174 C.12l n 2 D ． 2 l n 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 結(jié)合圖形，易知 x ＝ 2 ， x ＝12分別為定積分的上、下限， 則圖形的面積 S ＝1xd x ＝ ln x???? 212＝ l n 2 － ln12＝ 2 l n 2 .故選D. 求解分段函數(shù)的積分 求函數(shù) f ( x ) ＝????? x3， x ∈ [0 ， 1 ? ，x ， x ∈ [1 ， 2 ? ，2x， x ∈ [2 ， 3 ?在區(qū)間 [ 0 , 3 ] 上的積分． [ 分析 ] 利用定積分的性質(zhì)，把所求定積分化為幾段定積分的和的形式，然后再求解． [ 解析 ] ????03f ( x )d x ＝????01f ( x )d x ＋????12f ( x )d x ＋????23f ( x )d x ＝????01x3d x ＋????12x d x ＋????232xd x ＝14x4|10 ＋23x32|21 ＋2xl n 2|32 ＝14＋432 －23＋8l n 2－4l n 2＝－512＋432 ＋4l n 2. [ 方法總結(jié) ] 計(jì)算分段函數(shù)的定積分 ： ( 1 ) 分段函數(shù)在區(qū)間[ a ， b ] 上的積分可分成幾段積分的和的形式； ( 2 ) 分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，一般按照原函數(shù)分段的情況分即可． 已知 f ( x ) ＝????? 2 x ＋ 1 ， x ∈ [ － 2 ， 2] ，1 ＋ x 2 ， x ∈ ? 2 ， 4] ，若????k3 3 f ( x )d x ＝ 40 ，求實(shí)數(shù) k 的值． [ 解析 ] 當(dāng)－ 2 ≤ k ≤ 2 時(shí)，????k3f ( x )d x ＝????k2(2 x ＋ 1 ) d x ＋?
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