人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時(shí)曲邊梯形面積與定積分(完整版)
【正文】 分割：將區(qū)間 [ 0 , 5 ] n 等分，得 Δ s ＝5n， s i＝5ni . ( 2 ) 近似代替： F i＝13s i＋ 1 ＝53 ni＋ 1 ， 在 [ s i， s i ＋ 1 ] 的位移內(nèi)，力 F i所做的功 W i＝ F iΔ s ＝5n ????????53 ni＋ 1 ＝253 n2 i＋5n. ( 3 ) 求和：物體運(yùn)動(dòng) 5m 過程中力 F 做的功 W 近似地等于 ?i ＝ 1nWi＝ ?i ＝ 1n ????????253 n2 i＋5n＝5n2????????53n ? n ＋ 1 ?2＋ n2＝25 ? n ＋ 1 ?6 n＋ 5. ( 4 ) 取極限：當(dāng) n 趨于＋ ∞ 時(shí)， W 無限趨近于556，于是物體運(yùn)動(dòng) 5m 的過程中力 F 所做的功為5 56J. [ 方法總結(jié) ] 本題為變力做功問題，與解決曲邊梯形面積方式是一樣的，都要對某一函數(shù)實(shí)行相同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)運(yùn)算． 某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)該物體在時(shí)間 t 的速度為 v ( t ) ＝6t 2 ，求物體在 t＝ 1 到 t ＝ 2 這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程 s . [ 解析 ] s ＝ l i mn → ∞?i ＝ 1nv????????????????1 ＋i－ 1n ????????1 ＋in1n ＝ l i mn → ∞?i ＝ 1n 6 n? n ＋ i－ 1 ?? n ＋ i ?＝ l i mn → ∞6 n????????1n－12 n＝ 3. [ 點(diǎn)評 ] 由于作積分和時(shí)可取區(qū)間 Δ t i內(nèi)的任一點(diǎn)，故 為便于求和取????????1 ＋i － 1n ????????1 ＋ in ∈ Δ t i來近似代替作和 . 利用積分的幾何意義求定積分 利用定積分的幾何意義，求： ( 1 ) ???－ 339 － x2d x ； ( 2 )????03(2 x ＋ 1 ) d x . [ 分析 ] 利用幾何意義求定積分．關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖像，以及積分區(qū)間，正確的利用相關(guān)的幾何知識求面積．不規(guī)則的圖形常利用分割法求面積．注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定． [ 解析 ] ( 1 ) 在平面上 y ＝ 9 － x2表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以 3 為半徑的上半圓如圖 ( 1 ) 所示， 其面積為 S ＝121n＝1n4 ?i ＝ 0n － 1 ( n ＋ i )3 ＝1n4 ?i ＝ 0n － 1 ( n3＋ 3 n2i＋ 3 ni2＋ i3) ＝1n4 [ n4＋ 3 n2n ? n － 1 ?2＝ke22(1 －1n) ． ∴ 彈簧從平衡位置拉長到 e 處所做的功為： W ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 0n － 1Δ Wi＝ke22. 答：克服彈力所做的功為ke22J. 二、定積分的概念 1．定積分的概念 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)定義在區(qū)間 [a， b]上 (如圖 )，用分點(diǎn) a＝x0x1x2? xn－ 1xn＝ b把區(qū)間 [a， b]分為 n個(gè)小區(qū)間，其長度依次為 Δxi＝ xi＋ 1－ xi， i＝ 0,1,2， ? ， n－ 1. 記 λ 為這些小區(qū)間長度的最大者，當(dāng) λ 趨近于 0 時(shí)，所有的小區(qū)間長度都趨近于 0. 在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) ξi，作和式 In＝?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi. 當(dāng) λ → 0 時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式 In的極限叫做函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積 分，記作????abf ( x )d x ，即????abf ( x )d x ＝l i mλ → 0?i ＝ 0n － 1f ( ξi)Δ xi. 其中 f ( x ) 叫做被積函數(shù)， a 叫積分下限， b 叫積分上限，f (
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