人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法(完整版)
【正文】 2＋13＋ ?＋12k－ 1＋12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，所以增加的式子為12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，因?yàn)?2k ＋ 1－ 1＝12 2k－ 1＝12k＋ ? 2k－ 1 ?，所以增加的項(xiàng)數(shù)為 2k項(xiàng)． [ 正解 ] 2 k 12 k ＋ 12 k ＋ 1 ＋ ? ＋ 12 k ＋ 1 － 1 數(shù)學(xué)歸納法????? 數(shù)學(xué)歸納法定義 ? 了 解 ?數(shù)學(xué)歸納法證明步驟 ? 掌握 ?數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 ? 掌握 ? 。 ak － 1＝ ( k － 1)2， a1 7 k 能被 9 整除，則 f ( k ＋ 1)能被 9 整除． 由 (1) 、 (2 ) 可知，對(duì)所有正整數(shù) n ， f ( n ) 能被 9 整除． [ 方法總結(jié) ] 本題的兩種證法實(shí)質(zhì)是一樣的，證法 1 是把(3 k ＋ 4) 7k能被 9 整除，所以 [3( k ＋ 1) ＋ 1] 7k＋ 6 7k－ 1 能被 9 整除． 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， [(3 k ＋ 3) ＋ 1] 假設(shè) n ＝ k ( k ≥ 2) 時(shí)命題成立，即 1 ＋122 ＋132 ＋ ? ＋1k2 2 －1k. 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， 1 ＋122 ＋132 ＋ ? ＋1k2 ＋1? k ＋ 1 ?2 2 －1k＋1? k ＋ 1 ?22 －1k＋1k ? k ＋ 1 ?＝ 2 －1k＋1k－1k ＋ 1＝ 2 －1k ＋ 1命題也成立． 由 1176。 當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， 1 ＋122 ＝5432＝ 2 －12，命題成立． 2176。 7 k＋ 1－ 1 能被 9 整除． [ 證明 ] 證法 1 ： (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 4 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立，即 (3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k＋ 27 7k. 由于 f ( k ) 能被 9 整除， 9(2 k ＋ 3) ? ak＝? k ＋ 1 ?2? k － 1 ?2 ak ＋ 1＝ ( k ＋ 1)2. ∴ ak ＋ 1＝? k ＋ 1 ?2? a1 a 2 ＝ 22， ∴ a 2 ＝ 22， ∵ a 1 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，因此 n ＝ 1 時(shí)，命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立，即 f ( k )( k ∈ N*) 能被 9 整除，則 f ( k＋ 1) － f ( k ) ＝ [(3 k ＋ 4) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k－ 1 ＝ 7 7 n － 1 能被 9 整除． [ 分析 ] 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，原式＝ 27 能被 9 整除，因此，要研究(3 k ＋ 1)推理與證明 第二章 數(shù)學(xué)歸納法 第二章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 從前有一位畫家，為了測(cè)試他的三個(gè)徒弟對(duì)繪畫奧妙的掌握程度，就把他們叫來(lái)，讓他們用最少的筆墨，畫出最多的馬．第一個(gè)徒弟在卷子上密密麻麻地畫了一群馬；第二個(gè)徒弟為了節(jié)省筆墨，只畫出許多馬頭；第三個(gè)徒弟在紙上用筆勾畫出兩座山峰，再?gòu)纳焦戎凶叱鲆黄ヱR，后面還有一匹只露出半截身子的馬．三張畫稿交上去，評(píng)判結(jié)果是最后一幅畫被認(rèn)定為佳作，構(gòu)思巧妙，筆墨經(jīng)濟(jì)，以少勝多！ 這第三張畫稿只畫了一匹半馬，為何能勝過(guò)一群馬呢？你知道其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理嗎？ ， 只要任意相鄰的兩塊骨牌之間的距離保持適中 ， 即前一塊骨牌倒下時(shí)能砸倒后一塊 ， 那么在推倒第一塊骨牌后 ， 會(huì)出現(xiàn)怎樣的情形 ？ 2． 什么叫歸納法 ？ 答案： ， 就會(huì)導(dǎo)致第二塊骨牌倒下 ， 而第二塊倒下 ， 又導(dǎo)致第三塊倒下 ， 以此類推 ， 直到全部倒下 ． 2． 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 ，通常叫歸納法 ． 根據(jù)考察的對(duì)象是全部還是部分 ， 歸納法又分為：完全歸納法和不完全歸納法 . 一、數(shù)學(xué)歸納法 1 ．定義： 一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果 (1) 當(dāng) n 取第一個(gè)值 n 0 時(shí)命題成立； (2) 在假設(shè) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ，且 k ≥ n 0 ) 時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)命題也成立，那么可以斷定，這個(gè)命題對(duì) n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立。 7 k － 1 與 (3 k ＋ 4) (3 k ＋ 1) 7k＋ 27 7k ＋ 1－ 1] － [( 3 k ＋ 1) a 2 a2 ak － 1? a2 (2 k ＋ 3) 7k－ 1 能被 9 整除，又因?yàn)?18 k 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7 k － 1 能被 9 整除來(lái)推證 (3 k ＋ 4) [1 －4? 2 k ＋ 1 ?2 ] ＝2 ? k ＋ 1 ? ＋ 11 － 2 ? k ＋ 1 ?， 也就是說(shuō) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立． 由 (1) (2) 可知，等式對(duì)任何正整數(shù) n 都成立． 三、數(shù)學(xué)歸納法與 “ 觀察 — 歸納 — 猜想 — 證明 ” 近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對(duì)歸納推理的考查，既要求歸納、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，形成了 “ 觀察 — 歸納 — 猜想— 證明 ” 的思維模式，它是數(shù)學(xué)歸納法的重點(diǎn)題型，也是近幾年高考的熱點(diǎn)． 在中學(xué)階段，這方面的題型主要有以下幾方面： ① 已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前 n 項(xiàng)和； ② 由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在； ③ 給出一些簡(jiǎn)單的命題 ( n ＝ 1,2,3 ， ? ) ，猜想并證明對(duì)任意自然數(shù) n 都成立的一般性命題． 這類問(wèn)題涉及的知識(shí)內(nèi)容是很廣泛的，可以涵蓋前面幾節(jié)所講述的所有內(nèi)容：代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等．解題一般分三步進(jìn)行： ① 驗(yàn)證 p (1) 、 p (2) 、 p (3) 、 p (4) 、 ? ； ② 提出猜想； ③ 用數(shù)學(xué)歸納法證明． 在數(shù)列 { a n } ， { b n } 中， a 1 ＝ 2 ， b 1 ＝ 4 ，且 a n ， b n ， a n ＋ 1 成等差數(shù)列， b n ， a n ＋ 1 ， b n ＋ 1 成等比數(shù)列 ( n ∈ N ＋ ) ． 求 a 2 ， a 3 ， a 4 及 b 2 ， b 3 ， b 4 ，由此猜測(cè) { a n } ， { b n } 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論． [ 解析 ] 由條件得 2 b n ＝ a n ＋ a n ＋ 1 ， a2n ＋ 1 ＝ b n b n ＋ 1 . 由此可以得 a 2 ＝ 6 ， b 2 ＝ 9 ， a 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ 16 ， a
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