人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法(已修改)
2024-12-03 20:10 本頁面
【正文】 推理與證明 第二章 數(shù)學(xué)歸納法 第二章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 從前有一位畫家，為了測試他的三個徒弟對繪畫奧妙的掌握程度，就把他們叫來，讓他們用最少的筆墨，畫出最多的馬．第一個徒弟在卷子上密密麻麻地畫了一群馬；第二個徒弟為了節(jié)省筆墨，只畫出許多馬頭；第三個徒弟在紙上用筆勾畫出兩座山峰，再從山谷中走出一匹馬，后面還有一匹只露出半截身子的馬．三張畫稿交上去，評判結(jié)果是最后一幅畫被認(rèn)定為佳作，構(gòu)思巧妙，筆墨經(jīng)濟(jì)，以少勝多！ 這第三張畫稿只畫了一匹半馬，為何能勝過一群馬呢？你知道其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理嗎？ ， 只要任意相鄰的兩塊骨牌之間的距離保持適中 ， 即前一塊骨牌倒下時能砸倒后一塊 ， 那么在推倒第一塊骨牌后 ， 會出現(xiàn)怎樣的情形 ？ 2． 什么叫歸納法 ？ 答案： ， 就會導(dǎo)致第二塊骨牌倒下 ， 而第二塊倒下 ， 又導(dǎo)致第三塊倒下 ， 以此類推 ， 直到全部倒下 ． 2． 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法 ，通常叫歸納法 ． 根據(jù)考察的對象是全部還是部分 ， 歸納法又分為：完全歸納法和不完全歸納法 . 一、數(shù)學(xué)歸納法 1 ．定義： 一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果 (1) 當(dāng) n 取第一個值 n 0 時命題成立； (2) 在假設(shè) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ，且 k ≥ n 0 ) 時命題成立的前提下，推出當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時命題也成立，那么可以斷定，這個命題對 n取第一個值后面的所有正整數(shù)成立。 2 ．證題時的具體步驟 第一步，證明當(dāng) n 取第一個值 n0( 例如 n0＝ 1 或 2 時結(jié)論正確 ) ； 第二步，假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ 且 k ≥ n0) 時結(jié)論正確，證明當(dāng)n ＝ k ＋ 1 時結(jié)論也正確． 在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從 n0開始的所有正整數(shù) n 都正確， 注意： (1)第一步是驗證命題遞推的基礎(chǔ) ， 第二步是論證命題遞推的依據(jù) ， 這兩個步驟缺一不可 ． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在于第二步 ， 即 n＝ k＋ 1時為什么成立 ？ n＝ k＋ 1時成立是利用假設(shè) n＝ k時成立 ， 根據(jù)有關(guān)的定理 、 定義 、 公式 、 性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出 n＝ k＋ 1時成立 ， 而不是直接代入 ， 否則 n＝ k＋ 1時也成假設(shè)了 ， 命題并沒有得到證明 ． (3)數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù) n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 ， 的證明 ， 如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式 、 不等式 、 數(shù)的整除性 、 幾何問題 、 探求數(shù)列的通項和前 n項和等問題 ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，左式為12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ ?＋ cos(2 n － 1) α ( α ≠ k π ， k ∈ Z ， n ∈ N*) ，在驗證 n ＝ 1 時，左邊所得的代數(shù)式為 ( ) A.12 B.12＋ cos α C.12＋ cos α ＋ cos3 α D.12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ cos 5 α [ 答案 ] B [ 解析 ] 令 n ＝ 1 ，左式＝ 12 ＋ cos α . 故選 B. 二 、 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法常用來解決與正整數(shù)有關(guān)的問題 ， 具有廣泛的應(yīng)用 ． 1． 證明等式 證明這類命題是 “ 一湊一變 ” ， 突出 “ 變 ” 字 ， “ 湊 ” 是指由 n＝ k＋ 1的左端湊出 n＝ k的左端 ， 或由 n＝ k的左瑞湊出 n＝ k＋ 1的左端； “ 變 ” 是指把拼湊的式子變?yōu)?n＝ k＋ 1的右端 ． 2． 證明不等式 證明這類題的關(guān)鍵是 “ 一湊一證 ” ， 常結(jié)合其他方法 (如放縮法等 )完成 “ 一證 ” ． 3 ．證明整除問題 證明這類問題的關(guān)鍵是 “ 湊項 ” ，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子 “ 硬提公因式 ” ，即將 n＝ k 時的項從 n ＝ k ＋ 1 時的項中 “ 硬提出來 ” ，構(gòu)成 n ＝ k 的項，后面的式子相對變形，使之與 n ＝ k ＋ 1 時的項相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的． 4 ．證明幾何問題 此類問題證明的關(guān)鍵是要弄清楚當(dāng)由 n ＝ k 推導(dǎo) n ＝ k ＋ 1 的情形時，幾何圖形的變化規(guī)律． 5 ．證明數(shù)列問題 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法有著非常密切的關(guān)系，我們知道，數(shù)列是定義在 N ＋ ( 或它的有限子集 {1 ,2,3 ， ? ， n }) 上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用的范圍是一樣的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上也是一致的．為此數(shù)列中有不少問題都可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，諸如數(shù)列的通項，前 n 項和 Sn的增減性、有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，沒有固定的格式，有一定的綜合性，是最近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，證明時要靈活應(yīng)用題目中的已知條件，充分考慮 “ 假設(shè) ” 這一步的應(yīng)用，不利用假設(shè)而進(jìn)行 的證明不是數(shù)學(xué)歸納法． 已知數(shù)列 { a n } 的通項公式 a n ＝4? 2 n － 1 ?2 ，數(shù)列 { b n } 的通項滿足 b n ＝ (1 － a 1 )(1 － a 2 ) ? (1 － a n ) ，試證明： b n ＝2 n ＋ 11 － 2 n. [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時， a 1 ＝ 4 ， b 1 ＝ 1 － 4 ＝－ 3 ， b 1 ＝2 1 ＋ 11 － 2 1＝－ 3 ，等式成立． (2) 假設(shè) n ＝ k ( k ≥ 1 ， k ∈ N ＋ ) 時等式成立，即 bk＝2 k ＋ 11 － 2 k， 那么 n ＝ k ＋ 1 時 ，有 bk ＋ 1＝ (1 － a1)(1 － a2) ? (1 － ak)(1 － ak ＋1) ＝ bk(1 － ak ＋ 1) ＝2 k ＋ 11 － 2 k [1 －4? 2 k ＋ 1 ?2 ] ＝2 ? k ＋ 1 ? ＋ 11 － 2 ? k ＋ 1 ?， 也就是說 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 由 (1) (2) 可知，等式對任何正整數(shù) n 都成立． 三、數(shù)學(xué)歸納法與 “ 觀察 — 歸納 — 猜想 — 證明 ” 近幾年的高考試題，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，而且加強(qiáng)了對歸納推理的考查，既要求歸納、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要求能證明結(jié)論的正確性，形成了 “ 觀察 — 歸納 — 猜想— 證明 ” 的思維模式，它是數(shù)學(xué)歸納法的重點(diǎn)題型，也是近幾年高考的熱點(diǎn)． 在中學(xué)階段，這方面的題型主要有以下幾方面： ① 已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前 n 項和； ② 由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在； ③ 給出一些簡單的命題 ( n ＝ 1,2,3 ， ? ) ，猜想并證明對任意自然數(shù) n 都成立的一般性命題． 這類問題涉及的知識內(nèi)容是很廣泛的，可以涵蓋前面幾節(jié)所講述的所有內(nèi)容：代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等．解題一般分三步進(jìn)行： ① 驗證 p (1) 、 p (2) 、 p (3) 、 p (4) 、 ? ； ② 提出猜想； ③ 用數(shù)學(xué)歸納法證明． 在數(shù)列 { a n } ， { b n } 中， a 1 ＝ 2 ， b 1 ＝ 4 ，且 a n ， b n ， a n ＋ 1 成等差數(shù)列， b n ，
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