【正文】 推理與證明 第二章 數學歸納法 第二章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預習 1 課前自主預習 從前有一位畫家，為了測試他的三個徒弟對繪畫奧妙的掌握程度，就把他們叫來，讓他們用最少的筆墨，畫出最多的馬．第一個徒弟在卷子上密密麻麻地畫了一群馬；第二個徒弟為了節(jié)省筆墨，只畫出許多馬頭；第三個徒弟在紙上用筆勾畫出兩座山峰，再從山谷中走出一匹馬，后面還有一匹只露出半截身子的馬．三張畫稿交上去，評判結果是最后一幅畫被認定為佳作，構思巧妙，筆墨經濟，以少勝多！ 這第三張畫稿只畫了一匹半馬，為何能勝過一群馬呢？你知道其中蘊含的數學原理嗎？ ， 只要任意相鄰的兩塊骨牌之間的距離保持適中 ， 即前一塊骨牌倒下時能砸倒后一塊 ， 那么在推倒第一塊骨牌后 ， 會出現怎樣的情形 ？ 2． 什么叫歸納法 ？ 答案： ， 就會導致第二塊骨牌倒下 ， 而第二塊倒下 ， 又導致第三塊倒下 ， 以此類推 ， 直到全部倒下 ． 2． 由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法 ，通常叫歸納法 ． 根據考察的對象是全部還是部分 ， 歸納法又分為：完全歸納法和不完全歸納法 . 一、數學歸納法 1 ．定義： 一個與自然數相關的命題，如果 (1) 當 n 取第一個值 n 0 時命題成立； (2) 在假設 n ＝ k ( k ∈ N ＋ ，且 k ≥ n 0 ) 時命題成立的前提下，推出當 n ＝ k ＋ 1 時命題也成立，那么可以斷定，這個命題對 n取第一個值后面的所有正整數成立。 2 ．證題時的具體步驟 第一步，證明當 n 取第一個值 n0( 例如 n0＝ 1 或 2 時結論正確 ) ； 第二步，假設當 n ＝ k ( k ∈ N ＋ 且 k ≥ n0) 時結論正確，證明當n ＝ k ＋ 1 時結論也正確． 在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從 n0開始的所有正整數 n 都正確， 注意： (1)第一步是驗證命題遞推的基礎 ， 第二步是論證命題遞推的依據 ， 這兩個步驟缺一不可 ． (2)用數學歸納法證明有關問題的關鍵在于第二步 ， 即 n＝ k＋ 1時為什么成立 ？ n＝ k＋ 1時成立是利用假設 n＝ k時成立 ， 根據有關的定理 、 定義 、 公式 、 性質等數學結論推證出 n＝ k＋ 1時成立 ， 而不是直接代入 ， 否則 n＝ k＋ 1時也成假設了 ， 命題并沒有得到證明 ． (3)數學歸納法僅適用于與正整數 n有關的數學命題 ， 的證明 ， 如與正整數有關的恒等式 、 不等式 、 數的整除性 、 幾何問題 、 探求數列的通項和前 n項和等問題 ． 用數學歸納法證明某命題時，左式為12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ ?＋ cos(2 n － 1) α ( α ≠ k π ， k ∈ Z ， n ∈ N*) ，在驗證 n ＝ 1 時，左邊所得的代數式為 ( ) A.12 B.12＋ cos α C.12＋ cos α ＋ cos3 α D.12＋ cos α ＋ cos3 α ＋ cos 5 α [ 答案 ] B [ 解析 ] 令 n ＝ 1 ，左式＝ 12 ＋ cos α . 故選 B. 二 、 數學歸納法的應用 數學歸納法常用來解決與正整數有關的問題 ， 具有廣泛的應用 ． 1． 證明等式 證明這類命題是 “ 一湊一變 ” ， 突出 “ 變 ” 字 ， “ 湊 ” 是指由 n＝ k＋ 1的左端湊出 n＝ k的左端 ， 或由 n＝ k的左瑞湊出 n＝ k＋ 1的左端； “ 變 ” 是指把拼湊的式子變?yōu)?n＝ k＋ 1的右端 ． 2． 證明不等式 證明這類題的關鍵是 “ 一湊一證 ” ， 常結合其他方法 (如放縮法等 )完成 “ 一證 ” ． 3 ．證明整除問題 證明這類問題的關鍵是 “ 湊項 ” ，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子 “ 硬提公因式 ” ，即將 n＝ k 時的項從 n ＝ k ＋ 1 時的項中 “ 硬提出來 ” ，構成 n ＝ k 的項，后面的式子相對變形，使之與 n ＝ k ＋ 1 時的項相同，從而達到利用假設的目的． 4 ．證明幾何問題 此類問題證明的關鍵是要弄清楚當由 n ＝ k 推導 n ＝ k ＋ 1 的情形時，幾何圖形的變化規(guī)律． 5 ．證明數列問題 數列與數學歸納法有著非常密切的關系，我們知道，數列是定義在 N ＋ ( 或它的有限子集 {1 ,2,3 ， ? ， n }) 上的函數，這與數學歸納法運用的范圍是一樣的，并且數列的遞推公式與歸納原理實質上也是一致的．為此數列中有不少問題都可用數學歸納法予以證明，諸如數列的通項，前 n 項和 Sn的增減性、有界性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，沒有固定的格式，有一定的綜合性，是最近幾年高考的熱點問題之一，證明時要靈活應用題目中的已知條件，充分考慮 “ 假設 ” 這一步的應用，不利用假設而進行 的證明不是數學歸納法． 已知數列 { a n } 的通項公式 a n ＝4? 2 n － 1 ?2 ，數列 { b n } 的通項滿足 b n ＝ (1 － a 1 )(1 － a 2 ) ? (1 － a n ) ，試證明： b n ＝2 n ＋ 11 － 2 n. [ 證明 ] (1) 當 n ＝ 1 時， a 1 ＝ 4 ， b 1 ＝ 1 － 4 ＝－ 3 ， b 1 ＝2 1 ＋ 11 － 2 1＝－ 3 ，等式成立． (2) 假設 n ＝ k ( k ≥ 1 ， k ∈ N ＋ ) 時等式成立，即 bk＝2 k ＋ 11 － 2 k， 那么 n ＝ k ＋ 1 時 ，有 bk ＋ 1＝ (1 － a1)(1 － a2) ? (1 － ak)(1 － ak ＋1) ＝ bk(1 － ak ＋ 1) ＝2 k ＋ 11 － 2 k [1 －4? 2 k ＋ 1 ?2 ] ＝2 ? k ＋ 1 ? ＋ 11 － 2 ? k ＋ 1 ?， 也就是說 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 由 (1) (2) 可知，等式對任何正整數 n 都成立． 三、數學歸納法與 “ 觀察 — 歸納 — 猜想 — 證明 ” 近幾年的高考試題，不但要求能用數學歸納法去證明現成的結論，而且加強了對歸納推理的考查，既要求歸納、發(fā)現結論，又要求能證明結論的正確性，形成了 “ 觀察 — 歸納 — 猜想— 證明 ” 的思維模式，它是數學歸納法的重點題型，也是近幾年高考的熱點． 在中學階段，這方面的題型主要有以下幾方面： ① 已知數列的遞推公式，求通項或前 n 項和； ② 由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數值是否存在； ③ 給出一些簡單的命題 ( n ＝ 1,2,3 ， ? ) ，猜想并證明對任意自然數 n 都成立的一般性命題． 這類問題涉及的知識內容是很廣泛的，可以涵蓋前面幾節(jié)所講述的所有內容：代數、三角恒等式、不等式、數列、幾何問題、整除性問題等．解題一般分三步進行： ① 驗證 p (1) 、 p (2) 、 p (3) 、 p (4) 、 ? ； ② 提出猜想； ③ 用數學歸納法證明． 在數列 { a n } ， { b n } 中， a 1 ＝ 2 ， b 1 ＝ 4 ，且 a n ， b n ， a n ＋ 1 成等差數列， b n ，