人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章《推理與證明》-文庫吧
2024-10-28 20:10 本頁面
【正文】 1a － 1∈ A . ∴ 2 ∈ A 時，有11 － 2＝－ 1 ∈ A . 由于－ 1 ≠ 1 ，有11 － ? － 1 ?＝12∈ A . 由于12≠ 1 ，有11 －12＝ 2 ∈ A . 如此循環(huán)可知集合 A 中的另外兩個元素為12，－ 1. (2) ∵ 集合 A 非空，故存在 a ∈ A ， a ≠ 1 ，有11 － a∈ A ， ∴11 － a∈ A 且11 － a≠ 1 ， 即 a ≠ 0 時，有11 －11 － a＝a － 1a∈ A ，即如此循環(huán)出現(xiàn)三個數(shù) a ，11 － a，a － 1a∈ A . 若 a ＝11 － a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若11 － a＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若 a ＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． ∴ a ，11 － a，a － 1a互不相等，故集合 A 中至少有三個不同元素． [ 方法總結(jié) ] 本題考查了集合的定義、性質(zhì)、二次方程的根等知識，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力 . 綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法 ， 應(yīng)用綜合法證明問題時 ， 必須首先想到從哪里開始起步 ， 分析法就可以幫助我們克服這種困難 ． 在實際證明問題時 ， 應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法綜合起來使用 ， 轉(zhuǎn)換解題思路 ， 增加解題途徑 ． 綜合法和分析法 若 sin α ＋ c os α ＝ 1 ，求證： sin 6 α ＋ cos 6 α ＝ 1. [ 分析 ] 由三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ，從sin 6 α ＋ cos 6 α 出發(fā)，借助于立方和公式將待證式的次數(shù)降低后再進行證明． [ 證明 ] sin6α ＋ cos6α ＝ (s in2α )3＋ (cos2α )3 ＝ (s in2α ＋ c os2α ) (s in4α － sin2α cos2α ＋ cos4α ) ＝ sin4α ＋ 2s in2α cos2α ＋ cos4α － 3sin2α cos2α ＝ 1 － 3s in2α cos2α ， 要證 sin6α ＋ cos6α ＝ 1 ，只需證 sin2α cos2α ＝ 0. 由 sin α ＋ co s α ＝ 1 兩邊平方得 2sin α cos α ＝ 0 ， ∴ 4sin2α cos2α ＝ 0. ∴ sin6α ＋ co s6α ＝ 1. [ 方法總結(jié) ] 本題證明過程的前半部分用的是綜合法，后半部分是分析法，本題把二者很好地結(jié)合起來 . 反證法 反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題 “ 若 p ，則 q ” 的否定是 “ 若 p ，則 172。 q ” ，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么 就說明 “ 若 p ，則 172。 q ” 為假，從而可以導(dǎo)出 “ 若 p ，則 q ” 為真，從而達到證明的目的．反證法反映了 “ 正難則反 ” 的解題思想． 若 x ， y ， z 均為實數(shù)，且 a ＝ x2－ y － z ＋π2， b ＝y(tǒng)2－ x － z ＋π3， c ＝ z2－ x － y ＋π4，求證： a ， b ， c 中至多有兩個小于或等于零． [ 證明 ] 假設(shè) a ， b ， c 都小于或等于零，則 a ＋ b
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