人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章11第2課時(shí)《瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)》-文庫(kù)吧
2025-10-15 01:21 本頁(yè)面
【正文】 么常數(shù) l 稱(chēng)為函數(shù) f ( x ) 在點(diǎn) x0處的瞬時(shí)變化率．當(dāng) Δ x 趨近于 0 時(shí)，f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x趨近于常數(shù) l，可以用符號(hào) “→” ( 讀作 “ 趨近于 ” ) 記作： 當(dāng) Δ x → 0 時(shí)，f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x→ l . 上述過(guò)程通常也記作 l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x＝ l .函數(shù)在點(diǎn) x 0 處的瞬時(shí)變化率通常稱(chēng)為 f ( x ) 在 x＝ x 0 處的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)，記作 f ′ ( x 0 ) ，即 f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x，也可記作 y ′ | x ＝ x 0 . 對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： ( 1 ) 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)在點(diǎn) x 0 處及其附近函數(shù)值的改變量 Δ y 與自變量的改變量 Δ x 之比的極限，它是一個(gè)局部性概念，若 l i mΔ x → 0 Δ yΔ x存在，則函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x 0 處有導(dǎo)數(shù)，否則就沒(méi)有導(dǎo)數(shù)． 并不是任何一個(gè)函數(shù)在定義域中的某點(diǎn)處均有導(dǎo)數(shù)． 例如 f ( x ) ＝ | x |在 x ＝ 0 處不存在導(dǎo)數(shù)． 因?yàn)棣?yΔ x＝f ? 0 ＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x＝|Δ x |Δ x＝????? 1 ， Δ x 0 ，－ 1 ， Δ x 0 ，所以當(dāng)Δ x → 0 時(shí)，Δ yΔ x的極限不 存在，從而在 x ＝ 0 處的導(dǎo)數(shù)不存在． ( 2 ) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處有導(dǎo)數(shù)，則 Δ x → 0 時(shí)，存在一個(gè)常數(shù)與f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x無(wú)限地接近． 如果某物體作運(yùn)動(dòng)方程為 s＝ 2(1－ t2)的直線運(yùn)動(dòng) (s的單位為 m， t的單位為 s)，那么其在 ( ) A．－ ．－ C． ． [答案 ] A [ 解析 ] v ＝ l i mΔ t → 0 Δ sΔ t＝ l i mΔ t → 0 2 [ 1 － ? 1 . 2 ＋ Δ t ? 2 ] － 2 ? 1 － 1 . 2 2 ?Δ t ＝ l i mΔ t → 0 ( － 4 . 8 － 2Δ t ) ＝－ 4 . 8 ( m / s) ． 三、導(dǎo)函數(shù) 1 ．如果 f ( x ) 在開(kāi)區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)每一點(diǎn) x 都是可導(dǎo)的，則稱(chēng) f ( x )在區(qū)間 ( a ， b ) 可導(dǎo)．這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)每個(gè)值 x ，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f ′ ( x ) ．于是，在區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)， f ′ ( x ) 構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為 y ＝ f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)，記為 f ′ ( x ) 或y ′ ( 或 y ′x) ．導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)． 注意： “ 函數(shù) f(x)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) ”“ 導(dǎo)函數(shù) ”“ 導(dǎo)數(shù) ” 的區(qū)別與聯(lián)系： (1)“ 函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) ” ：就是在該點(diǎn)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限有，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)． (2)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)， “ f(x)在一點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) ” 與 “ 導(dǎo)函數(shù) ” 是個(gè)別與一般的關(guān)系． (3)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù) f′(x)在點(diǎn) x＝ x0處的函數(shù)值． f′(x0)＝ f′(x)|x＝ x0，所以求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值． 2 ．求導(dǎo)數(shù)的步驟：由導(dǎo)數(shù)的定義知，求函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點(diǎn)x0
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