人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章11第2課時《瞬時變化率與導數(shù)》-文庫吧
2024-10-29 01:21 本頁面
【正文】 么常數(shù) l 稱為函數(shù) f ( x ) 在點 x0處的瞬時變化率．當 Δ x 趨近于 0 時，f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x趨近于常數(shù) l，可以用符號 “→” ( 讀作 “ 趨近于 ” ) 記作： 當 Δ x → 0 時，f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x→ l . 上述過程通常也記作 l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x＝ l .函數(shù)在點 x 0 處的瞬時變化率通常稱為 f ( x ) 在 x＝ x 0 處的導數(shù)，這時，記作 f ′ ( x 0 ) ，即 f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x，也可記作 y ′ | x ＝ x 0 . 對導數(shù)的理解應注意以下幾點： ( 1 ) 導數(shù)是研究函數(shù)在點 x 0 處及其附近函數(shù)值的改變量 Δ y 與自變量的改變量 Δ x 之比的極限，它是一個局部性概念，若 l i mΔ x → 0 Δ yΔ x存在，則函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x 0 處有導數(shù)，否則就沒有導數(shù)． 并不是任何一個函數(shù)在定義域中的某點處均有導數(shù)． 例如 f ( x ) ＝ | x |在 x ＝ 0 處不存在導數(shù)． 因為Δ yΔ x＝f ? 0 ＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x＝|Δ x |Δ x＝????? 1 ， Δ x 0 ，－ 1 ， Δ x 0 ，所以當Δ x → 0 時，Δ yΔ x的極限不 存在，從而在 x ＝ 0 處的導數(shù)不存在． ( 2 ) 若函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x0處有導數(shù)，則 Δ x → 0 時，存在一個常數(shù)與f ? x0＋ Δ x ? － f ? x0?Δ x無限地接近． 如果某物體作運動方程為 s＝ 2(1－ t2)的直線運動 (s的單位為 m， t的單位為 s)，那么其在 ( ) A．－ ．－ C． ． [答案 ] A [ 解析 ] v ＝ l i mΔ t → 0 Δ sΔ t＝ l i mΔ t → 0 2 [ 1 － ? 1 . 2 ＋ Δ t ? 2 ] － 2 ? 1 － 1 . 2 2 ?Δ t ＝ l i mΔ t → 0 ( － 4 . 8 － 2Δ t ) ＝－ 4 . 8 ( m / s) ． 三、導函數(shù) 1 ．如果 f ( x ) 在開區(qū)間 ( a ， b ) 內每一點 x 都是可導的，則稱 f ( x )在區(qū)間 ( a ， b ) 可導．這樣，對開區(qū)間 ( a ， b ) 內每個值 x ，都對應一個確定的導數(shù) f ′ ( x ) ．于是，在區(qū)間 ( a ， b ) 內， f ′ ( x ) 構成一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為 y ＝ f ( x ) 的導函數(shù)，記為 f ′ ( x ) 或y ′ ( 或 y ′x) ．導函數(shù)通常簡稱為導數(shù)． 注意： “ 函數(shù) f(x)在某一點處的導數(shù) ”“ 導函數(shù) ”“ 導數(shù) ” 的區(qū)別與聯(lián)系： (1)“ 函數(shù)在某一點處的導數(shù) ” ：就是在該點的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比的極限有，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)． (2)導函數(shù)也簡稱導數(shù)， “ f(x)在一點 x0處的導數(shù) ” 與 “ 導函數(shù) ” 是個別與一般的關系． (3)函數(shù) f(x)在點 x0處的導數(shù) f′(x0)就是導函數(shù) f′(x)在點 x＝ x0處的函數(shù)值． f′(x0)＝ f′(x)|x＝ x0，所以求函數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導函數(shù)值． 2 ．求導數(shù)的步驟：由導數(shù)的定義知，求函數(shù) y ＝ f ( x ) 在點x0
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