人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章《推理與證明》-預(yù)覽頁
【正文】 S1＋ S3＋ S5＋ ? ＋ S2n－ 1＝ n4. 三、解答題 6 ．已知數(shù)列 { x n } 滿足 x 1 ＝12， x n ＋ 1 ＝11 ＋ x n， n ∈ N*. (1) 猜想數(shù)列 { x 2 n } 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (2) 證明： | x n ＋ 1 － x n |≤16(25)n － 1. [ 解析 ] (1) 由 x 1 ＝12及 x n ＋ 1 ＝11 ＋ x n得 x 2 ＝23， x 4 ＝58， x 6 ＝1321. 由 x 2 x 4 x 6 猜想，數(shù)列 { x 2 n } 是遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ① 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，已證命題成立． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k 時(shí)命題成立，即 x2 k x2 k ＋ 2 易知 x10 ，那么 x2 k ＋ 2－ x2 k ＋ 4＝11 ＋ x2 k ＋ 1－11 ＋ x2 k ＋ 3 ＝x2 k ＋ 3－ x2 k ＋ 1? 1 ＋ x2 k ＋ 1?? 1 ＋ x2 k ＋ 3? ＝x2 k－ x2 k ＋ 2? 1 ＋ x2 k?? 1 ＋ x2 k ＋ 1?? 1 ＋ x2 k ＋ 2?? 1 ＋ x2 k ＋ 3?0 ， 即 x2( k ＋ 1) x2( k ＋ 1) ＋ 2， 也就是說，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)命題也成立．結(jié)合 (1) 和 (2) 知，命題成立． (2) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， | xn ＋ 1－ xn|＝ | x2－ x1|＝16，結(jié)論成立； 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，易知 0 xn － 11 ， ∴ 1 ＋ xn － 12 ， xn＝11 ＋ xn － 112， ∴ (1 ＋ xn)(1 ＋ xn － 1) ＝ (1 ＋11 ＋ xn － 1)(1 ＋ xn － 1) ＝ 2 ＋ xn － 1≥52， ∴ | xn ＋ 1－ xn|＝ |11 ＋ xn－11 ＋ xn － 1|＝| xn－ xn － 1|? 1 ＋ xn?? 1 ＋ xn － 1? ≤25| xn－ xn － 1|≤ (25)2| xn － 1－ xn － 2|≤? ≤ (25)n － 1| x2－ x1|＝16(25)n － 1. 。 cos2α ＝ 0. 由 sin α ＋ co s α ＝ 1 兩邊平方得 2sin α cos α ＝ 0 ， ∴ 4sin2α cos2α ＝ 0. ∴ sin6α ＋ co s6α ＝ 1. [ 方法總結(jié) ] 本題證明過程的前半部分用的是綜合法，后半部分是分析法，本題把二者很好地結(jié)合起來 . 反證法 反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性，從邏輯角度看，命題 “ 若 p ，則 q ” 的否定是 “ 若 p ，則 172。 (s in4α － sin2α cos2α ＋ cos4α ) ＝ sin4α ＋ 2s in2α cos2α ＋ cos4α － 3sin2α cos2α ＝ 1 － 3s in2α cos2α ， 要證 sin6α ＋ cos6α ＝ 1 ，只需證 sin2α 18
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