高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明章末檢測(cè)2 蘇教版選修1-2-預(yù)覽頁
【正文】 a1≥ a1＋ a2＋?＋ an. 證明：∵ a1， a2，? an都是正實(shí)數(shù)， ∴ a21a2＋ a2≥ 2a1；a22a3＋ a3≥ 2a2；? a2n－ 1an ＋ an≥ 2an－ 1；a2na1＋ a1≥ 2an， a21a2＋a22a3＋?＋a2n－ 1an ＋a2na1≥ a1＋ a2＋? ＋ an. 18． (16分 )已知 a， b， c為正數(shù) ， 且 f(n)＝ lgan＋ bn＋ 3 ， 求證 ： 2f(n)≤ f(2n)． 證明 要證 2f(n)≤ f(2n) 只需證 ??? ???an＋ bn＋ 32≤ a2n＋ b2n＋ c2n3 即證 (an＋ bn＋ )2≤ 3(a2n＋ b2n＋ c2n) 即 2anbn＋ 2bn＋ 2an≤ 2(a2n＋ b2n＋ c2n) ∵ a2n＋ b2n≥ 2anbn， a2n＋ c2n≥ 2an， b2n＋ c2n≥ 2bn ∴ 2anbn＋ 2bn＋ 2an≤ 2(a2n＋ b2n＋ c2n) ∴原不等式成立． 19． (16分 )正實(shí)數(shù)數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， a2＝ 5，且 {a2n}成等差數(shù)列．證明數(shù)列 {an}中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)． 證明 由已知有： a2n＝ 1＋ 24(n－ 1)， 從而 an＝ 1＋ 24(n－ 1)，取 n－ 1＝ 242k－ 1， 則 an＝ 1＋ 242k(k∈ N*)． 用反證法證明這些 an都是無理數(shù)． 假設(shè) an＝ 1＋ 242k為有理數(shù)，則 an必為正整數(shù)，且 an＞ 24k， 故 an－ 24k≥ 1， an＋ 24k＞ 1，與 (an－ 24k)(an＋ 24k)＝ 1矛盾，所以 an＝ 1＋ 242k(k∈ N*)都是無理數(shù)， 即數(shù)列 {an}中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)． 20． (16分 )設(shè) a， b， c為一個(gè)三角形的三條邊， s＝ 12(a＋ b＋ c)，且 s2＝ 2ab，試證： s＜ 2a. 證明 要證 s＜ 2a，由于 s2＝ 2ab，所以只需證 s＜ s2b， 即證 b＜ s. 因?yàn)?s＝ 12(a＋ b＋ c)，所以只需證 2b＜ a＋ b＋ c，即證 b＜ a＋ c. 由于 a， b， c為一個(gè)三角形的三條邊，所以上式成立，于是原命題成立．
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