人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 ＋1a2a3＝2a1a3 兩端同乘以 a1a2a3，即得 a1＋ a3＝ 2 a2，所以 a1， a2， a3成等差數(shù)列，記公差為 d ，則 a2＝ a1＋ d . 假設(shè) ak＝ a1＋ ( k － 1) d ，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，觀察如下兩個(gè)等式 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＝k － 1a1ak， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1ak － 1ak＋1akak ＋ 1＝ka1ak ＋ 1② 將 ① 代入 ② ，得k － 1a 1 a k＋1a k a k ＋ 1＝ka 1 a k ＋ 1， 在該式兩端同乘 a 1 a k a k ＋ 1 ，得 ( k － 1) a k ＋ 1 ＋ a 1 ＝ ka k . 將 a k ＝ a 1 ＋ ( k － 1) d 代入其中，整理后，得 a k ＋ 1 ＝ a 1 ＋ kd . 由數(shù)學(xué)歸納法原理知， 對(duì)一切 n ∈ N ＋ ，都有 a n ＝ a 1 ＋ ( n －1) d ，所以 { a n } 是公差為 d 的等差數(shù)列． 證法 2 ： ( 直接證法 ) 依題意有 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＝na1an ＋ 1， ① 1a1a2＋1a2a3＋ ? ＋1anan ＋ 1＋1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2. ② ② － ① 得1an ＋ 1an ＋ 2＝n ＋ 1a1an ＋ 2－na1an ＋ 1， 在上式兩端同乘以 a1an ＋ 1an ＋ 2，得 a1＝ ( n ＋ 1) an ＋ 1－ nan ＋ 2. ③ 同理可得 a1＝ nan－ ( n － 1) an ＋ 1④ ③ － ④ 得 2 nan ＋ 1＝ n ( an ＋ 2＋ an) 即 an ＋ 2－ an ＋ 1＝ an ＋ 1－ an，所以 { an} 是等差數(shù)列． 某數(shù)列的第一項(xiàng)為 1 ，并且對(duì)所有的自然數(shù) n ≥ 2 ，數(shù)列的前 n 項(xiàng)之積為 n2. (1) 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)； (2) 寫(xiě)出這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，并加以證明． [ 解析 ] (1) 已知 a 1 ＝ 1 ，由題意得 a 1 ? ? k － 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2＝? k ＋ 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2. 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，結(jié)論也成立． 根據(jù) ①② 可知，當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式是 an＝n2? n － 1 ?2， ∴ an＝????? 1 ? n ＝ 1 ?n2? n － 1 ?2 ? n ≥ 2 ?. 證明：12 ＋12 2 ＋12 3 ＋ ? ＋12 n － 1＋12 n ＝ 1 －12 n ( 其中 n∈ N ＋ ) ． [ 錯(cuò)解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ 12 ，右邊＝ 1 －12 ＝12 ，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k＋12k ＋ 1 ＝12 ??????1 －??????12k ＋ 11 －12＝ 1 －12k ＋ 1 . 這就是說(shuō)，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ， 可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． [ 辨析 ] 從形式上看，會(huì)認(rèn)為以上的證明是正確的，過(guò)程甚至是完整無(wú)缺的，但實(shí)際上以上的證明卻是錯(cuò)誤的． 錯(cuò)誤的原因在第 (2) 步，它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，式子12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＋12k ＋ 1 的和，而沒(méi)有利用 “ 歸納假設(shè) ” ，這是在用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)極易犯的一種錯(cuò)誤，要引以為戒，初學(xué)者一定要引起足夠的重視． [ 正解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝12，右邊＝ 1 －12＝12，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k＋12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋12k ＋ 1＝ 1 －2 － 12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋ 1. 這就是說(shuō)，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ，可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n－ 1n2( n ∈N ＋ ) 時(shí)，由 n ＝ k 遞推到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù) 是 ______ ，增加的式子是 __________________ ． [ 錯(cuò)解 ] 當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1；當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1＋12k ＋ 1－ 1. 所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是 1 項(xiàng)，增加的式子是12k ＋ 1－ 1. [ 辨析 ] 仔細(xì)觀察 n ＝ k 變?yōu)?n ＝ k ＋ 1 時(shí)有何變化，需認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，特別注意第 n 項(xiàng)并非它的通項(xiàng)．因分母是連續(xù)增大的正整數(shù)，所以12k－ 1的后面一項(xiàng)為12k ，接著的項(xiàng)為12k＋ 1，12k＋ 2，12k＋ 3， ? ，12k ＋ 1－ 1，即 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋1
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