人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法(編輯修改稿)
2024-12-23 20:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證明 ] 1176。 當(dāng) n ＝ 2 時(shí)， 1 ＋122 ＝5432＝ 2 －12，命題成立． 2176。 假設(shè) n ＝ k ( k ≥ 2) 時(shí)命題成立，即 1 ＋122 ＋132 ＋ ? ＋1k2 2 －1k. 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， 1 ＋122 ＋132 ＋ ? ＋1k2 ＋1? k ＋ 1 ?2 2 －1k＋1? k ＋ 1 ?22 －1k＋1k ? k ＋ 1 ?＝ 2 －1k＋1k－1k ＋ 1＝ 2 －1k ＋ 1命題也成立． 由 1176。 、 2176。 知原不等式在 n ≥ 2 ， n ∈ N*時(shí)均成立． [ 方法總結(jié) ] 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過(guò)放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式． 本例中用1? k ＋ 1 ?2 1k ? k ＋ 1 ?放縮是關(guān)鍵一步，有時(shí)也常用1k21k ? k ＋ 1 ?放縮． 求證： 1 ＋ n2 ≤ 1 ＋ 12 ＋ 13 ＋ ? ＋ 12 n ≤ 12 ＋ n ( n ∈ N * ) ． [ 證明 ] 設(shè) f ( n ) ＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n . (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， f (1) ＝ 1 ＋12，原不等式成立． (2) 設(shè) n ＝ k ( k ∈ N*) 時(shí)，原不等式成立． 即 1 ＋k2≤ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k ≤12＋ k 成立 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 ≥ 1 ＋k2＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 1 ＋k2＋12k ＋ 1 ＋12k ＋ 1 ＋ ? ＋12k ＋ 1 ＝ 1 ＋k2＋12＝ 1 ＋k ＋ 12 f ( k ＋ 1) ＝ f ( k ) ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 ≤12＋ k ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k ＋ 1 12＋ k ＋12k ＋12k ＋ ? ＋12k ＝12＋ ( k ＋ 1) ∴ n ＝ k ＋ 1 時(shí)，命題成立． 綜合 (1) 、 (2) 可得：原命題對(duì) n ∈ N*恒成立 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題 用數(shù)學(xué) 歸納法證明 (3 n ＋ 1) 7 n － 1 能被 9 整除． [ 分析 ] 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，原式＝ 27 能被 9 整除，因此，要研究(3 k ＋ 1) 7 k － 1 與 (3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 之間的關(guān)系，以便利用歸納假設(shè) (3 k ＋ 1) 7 k － 1 能被 9 整除來(lái)推證 (3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 能被 9 整除． [ 證明 ] 證法 1 ： (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 4 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立，即 (3 k ＋ 1) 7k－ 1 能被 9 整除． 當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， [(3 k ＋ 3) ＋ 1] 7k ＋ 1－ 1 ＝ (3 k ＋ 1 ＋ 3) 7 7k－ 1 ＝ 7 (3 k ＋ 1) 7k－ 1 ＋ 21 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k＋ 6 7k＋ 21 7k ＝ [(3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＋ 18 k 7k＋ 27 7k. 由歸納假設(shè) (3 k ＋ 1) 7k－ 1 能被 9 整除，又因?yàn)?18 k 7k＋ 27 7k能被 9 整除，所以 [3( k ＋ 1) ＋ 1] 7k ＋ 1－ 1 能被 9 整除，即 n ＝ k ＋1 時(shí)命題成立． 由 (1) 、 (2) 可知，對(duì)所有的正整數(shù) n ，命題成立． 證法 2 ：設(shè) f ( n ) ＝ (3 n ＋ 1) 7n－ 1. (1) f (1) ＝ (3 1 ＋ 1) 7 － 1 ＝ 27 能被 9 整除，因此 n ＝ 1 時(shí)，命題成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立，即 f ( k )( k ∈ N*) 能被 9 整除，則 f ( k＋ 1) － f ( k ) ＝ [(3 k ＋ 4) 7k ＋ 1－ 1] － [( 3 k ＋ 1) 7k－ 1] ＝ 9 (2 k ＋ 3) 7k. 由于 f ( k ) 能被 9 整除， 9(2 k ＋ 3) 7 k 能被 9 整除，則 f ( k ＋ 1)能被 9 整除． 由 (1) 、 (2 ) 可知，對(duì)所有正整數(shù) n ， f ( n ) 能被 9 整除． [ 方法總結(jié) ] 本題的兩種證法實(shí)質(zhì)是一樣的，證法 1 是把(3 k ＋ 4) 7 k＋ 1－ 1 設(shè)法湊出 (3 k ＋ 1) 7 k － 1 ，而證法 2 則是通過(guò)計(jì)算f ( k ＋ 1) － f ( k ) ，避免了湊的過(guò)程． 求證：當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除． [ 證明 ] (1) 顯然，當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，命題成立，即 x1＋ y1能被 x＋ y 整除． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ 2 k － 1( k ∈ N*) 時(shí)命題成立，即 ( x ＋ y ) 能整除 x2 k－ 1＋ y2 k － 1 則當(dāng) n ＝ 2 k ＋ 1 時(shí)， x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1＝ x2x2 k － 1＋ x2y2 k － 1－ x2y2 k － 1＋ y2y2 k － 1 ＝ x2( x2 k － 1＋ y2 k － 1) － ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∵ x ＋ y 能整除 ( x2 k － 1＋ y2 k － 1) 又 x ＋ y 能整除 ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∴ ( x ＋ y ) 能整除 ( x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1) 由 (1) 、 (2) 可知當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí) xn＋ yn能被 x ＋ y 整除 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題 平面內(nèi)有 n 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這 n 條直線把平面分割成12( n2＋ n ＋ 2) 個(gè)區(qū)
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