人教b版高中數(shù)學選修2-2第2章21第1課時合情推理(編輯修改稿)
2024-12-23 17:55 本頁面
【文章內容簡介】 面的面積為 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，則四面體的體積 V ＝ ________. [ 答案 ] 13 R ( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ) [ 解析 ] 將球心與四面體 連結，構成四個棱錐，棱錐底面積分別為 S 1 ， S 2 ， S 3 ， S 4 ，高都是 R ， ∴ V ＝13R ( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ) ． 課堂典例探究 歸納推理的應用 已知數(shù)列 { an } 的第一項 a 1 ＝ 1 ，且 a n ＋ 1 ＝a n1 ＋ a n( n＝ 1,2, 3 ， ? ) ，試歸納出這個數(shù)列的通項公式． [ 分析 ] 數(shù)列 { a n } 的通項公式是第 n 項 a n 與序號 n 之間的對應關系，我們可以先根據(jù)已知條件算出數(shù)列 { a n } 的前幾項，然后去歸納出一般性的公式． [ 解析 ] 當 n ＝ 1 時， a1＝ 1 ， 當 n ＝ 2 時， a2＝11 ＋ 1＝12， 當 n ＝ 3 時， a3＝121 ＋12＝13， 當 n ＝ 4 時， a4＝131 ＋13＝14. ?? 猜測 an＝1n. [ 方法總結 ] (1) 歸納推理的思維過程是 實驗、觀察→ 概括、推廣 → 猜測一般性結論 . (2) 歸納推理用的是不完全歸納法，俗稱歸納法．用歸納推理得出的一般結論，可能真，也可能假，結論的正確性有待于進一步論證． 根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前 4 項，并歸納猜想它的通項公式． (1) a 1 ＝ 3 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ； (2) a 1 ＝ a ， a n ＋ 1 ＝12 － a n. [ 解析 ] (1) 由已知有 a 1 ＝ 3 ＝ 22－ 1 ， a 2 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ＝ 2 3 ＋ 1 ＝ 7 ＝ 23－ 1 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＋ 1 ＝ 2 7 ＋ 1 ＝ 15 ＝ 24－ 1 ， a 4 ＝ 2 a 3 ＋ 1 ＝ 2 15 ＋ 1 ＝ 31 ＝ 25－ 1. 猜測出 a n ＝ 2n ＋ 1－ 1 ， n ∈ N* . (2) 由已知有 a1＝ a ， a2＝12 － a1＝12 － a， a3＝12 － a2＝2 － a3 － 2 a， a4＝12 － a3＝3 － 2 a4 － 3 a. 猜測出 an＝? n － 1 ? － ? n － 2 ? an － ? n － 1 ? a， n ∈ N*. 類比推理的應用 如圖，已知 O 是 △ A BC 內任意一點，連接 AO 、BO 、 CO 并延長交對邊分別于 A ′ 、 B ′ 、 C ′ ，則OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝ 1. 這是平面幾何中的一道題，其證明常采用 “ 面積法． ”O(jiān)A ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △ OBCS △ ABC＋S △ OCAS △ ABC＋S △ OABS △ ABC＝S △ ABCS △ ABC＝ 1. 運用類比猜想，對于空間中的四面體 V － BC D ，存在什么類似的結論，并用 “ 體積法 ” 證明． [ 分析 ] 解答本題可先在四面體 V － BC D 中任取一點．類比OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝ 1 得出 結論，再類比 “ 面積法 ” 用“ 體積法 ” 進行證明． [ 解析 ] 如圖，設 O 為四面體 V － BC D 內任意一點，連接VO 、 BO 、 CO 、 DO 并延長交對面于 V ′ 、 B ′ 、 C ′ 、 D ′ ，類比關系為OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝ 1. 類比平面幾何中的 “ 面積法 ” ，可用 “ 體積法 ” 來證明． VO － BCDVV － BCD＝13
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