人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(編輯修改稿)
2024-12-23 20:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x2－ ln x ； ( 2 ) f ( x ) ＝－13ax3＋ x2＋ 1( a ≤ 0) ． [ 分析 ] 按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟求解，注意函數(shù)的定義域． [ 解析 ] ( 1 ) 函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， 且 f ′ ( x ) ＝ 6 x －1x＝6 x2－ 1x 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ x 66. ∴ f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為????????66，＋ ∞ ； 令6 x2－ 1x0 ，又 x 0 ， ∴ 6 x2－ 1 0 ， ∴ 0 x 66. ∴ f ( x ) 的單調(diào)減區(qū)間為????????0 ，66. ( 2 ) f ( x ) 的定義域?yàn)?( － ∞ ，＋ ∞ ) ，且 f ′ ( x ) ＝－ ax2＋ 2 x ① 當(dāng) a ＝ 0 時(shí)， f ( x ) ＝ x2＋ 1 ， f ′ ( x ) ＝ 2 x ， ∴ f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間是 (0 ，＋ ∞ ) ，單調(diào)減區(qū)間是 ( － ∞ ， 0) ． ② 當(dāng) a 0 時(shí)，由－ ax2＋ 2 x 0 ， 即 x????????x －2a0 ，得 x 0 或 x 2a， ∴ f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間是????????－ ∞ ，2a和 (0 ，＋ ∞ ) ， 由－ ax2＋ 2 x 0 ，即 x????????x －2a0 得2a x 0 ， ∴ f ( x ) 的單調(diào)減區(qū)間是????????2a， 0 . [ 方法總結(jié) ] 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意以下問(wèn)題： ( 1 ) 在解不等式 f ′ ( x ) 0 或 f ′ ( x ) 0 時(shí)，不能忽略了函數(shù)的定義域； ( 2 ) 當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，要用分類(lèi)討論的方法求解； ( 3 ) 當(dāng)單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，要分開(kāi)寫(xiě)，不可寫(xiě)成并集的形式． 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)f(x)＝ x3－ 3x＋ 1； (2)f(x)＝ 3x2－ 2lnx. [ 解析 ] ( 1 ) 函數(shù) f ( x ) 的定義域?yàn)?R . f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 3 ，令 f ′ ( x ) ＞ 0 ，則 3 x2－ 3 ＞ 0. 即 3( x ＋ 1 ) ( x － 1) ＞ 0 ，解得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1. ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( － ∞ ，－ 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 令 f ′ ( x ) ＜ 0 ，則 3( x ＋ 1 ) ( x － 1) ＜ 0 ， 解得－ 1 ＜ x ＜ 1. ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( － 1 , 1 ) ． ( 2 ) 函數(shù)的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝ 6 x －2x＝ 23 x2－ 1x. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝33， x2＝ －33，其中 x2不在定義域內(nèi)． 用 x1分割定義域 D ，得下表 x ????????0 ，33 33 ????????33，＋ ∞ f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是????????0 ，33，單調(diào)遞增區(qū)間是????????33，＋ ∞ .
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