人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章13第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(更新版)
【正文】 y ＝ f ( x ) 曲線上一點(diǎn)處的切線斜就是這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，當(dāng)切線斜率為正時(shí)， f ′ ( x ) 0 ，切線的傾斜角小于 9 0 176。 ，函數(shù)的曲線呈下降趨勢(shì)．如圖． 1．由此我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則： (1)如果在 (a， b)內(nèi)， f′(x)0，則 f(x)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，(a， b)為 f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)如果在 (a， b)內(nèi)， f′(x)0，則 f(x)在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，(a， b)為 f(x)的單調(diào)減區(qū)間． 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 f′(x)＝ 0，則 f(x)等于常數(shù)．如果函數(shù) y＝ f(x)在 x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，總有 f′(x)0，則 f(x)在這個(gè)區(qū)間上嚴(yán)格遞增，這時(shí)該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格增函數(shù)；如果函數(shù)y＝ f(x)在自變量 x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，總有 f′(x)0，則 f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為嚴(yán)格減函數(shù)． 注意： f ′ ( x ) 0 是 f ( x ) 為增函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件，f ′ ( x ) 0 是 f ( x ) 為減函數(shù)的充分不必要條件．如 f ( x ) ＝ x3在 R 上為增函數(shù)，而 f ′ ( 0 ) ＝ 0 ，所以在 x ＝ 0 處不滿足 f ′ ( x ) 0 .故有可導(dǎo)函數(shù) f ( x ) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 ( 或遞減 ) 的充要條件為f ′ ( x ) ≥ 0( 或 f ′ ( x ) ≤ 0 ) ( f ′ ( x ) 不恒為零 ) ． 2 ．利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明可導(dǎo)函數(shù) y ＝ f ( x ) 在區(qū)間 ( a ， b ) 內(nèi)單調(diào)性的步驟： ( 1 ) 求 f ′ ( x ) ； ( 2 ) 確定 f ′ ( x ) 在 ( a ， b ) 內(nèi)的符號(hào)； ( 3 ) 得出結(jié)論． 討論函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ ax ( a 0 ) 的單調(diào)性． [ 解析 ] 易知函數(shù)的定義域?yàn)?{ x | x ∈ R ， x ≠ 0} ． f ′ ( x ) ＝ ( x＋ax) ′ ＝ 1 －ax2 ＝1x2 ( x ＋ a )( x － a ) ． 令 f ′ ( x ) 0 ，則1x2 ( x ＋ a )( x － a ) 0 ， 解得 x － a ，或 x a ， 知函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－ a ) ， ( a ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)； 令 f ′ ( x ) 0 ，解得－ a x a ，且 x ≠ 0 ，故函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間( － a ， 0) ， (0 ， a ) 上是減函數(shù)． 二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f′(x)0，則 f(x)為增函數(shù)；如果 f′(x)0，則 f(x)為減函數(shù)；如果 f′(x)＝ 0，則 f(x)為常數(shù)． 一般情況下，函數(shù)在它的定義區(qū)間上不是單調(diào)的，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，它的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的區(qū)間分界點(diǎn)應(yīng)是其導(dǎo)數(shù)符號(hào)正負(fù)交替的分界點(diǎn)，即在分界點(diǎn)處 f′(x)＝ 0，為此，我們可以用使函數(shù)導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的具體步驟是：①確定 f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù) f′(x)；③在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式 f′(x)0或f′(x)0；④確定 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 注意： 在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，只能在定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或直接解不等式 f′(x)0和 f′(x)0，求出 f(x)的單調(diào)區(qū)間． 如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)區(qū)間中間一般不能用 “ ∪ ” 連接，可用 “ 逗號(hào) ” 或 “ 和 ”字隔開(kāi)． 函數(shù) y＝ x4－ 2x2＋ 5的單調(diào)減區(qū)間為 ( ) A． (－ ∞，－ 1]和 [0,1] B． [－ 1,0]和 [1，＋ ∞) C． [－ 1,1] D． (－ ∞，－ 1]和 [1，＋ ∞) [答案 ] A [ 解析 ] y ′ ＝ 4 x3－ 4 x ， 令 y ′ ＝ 0 ，則 4 x3－ 4 x ＝ 0 ， 解 x ＝ 0 或 x ＝ 177
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