人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第1課時利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(參考版)
2024-11-21 20:10本頁面
【正文】 3 x2－ 1x. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x1＝33， x2＝ －33，其中 x2不在定義域內(nèi)． 用 x1分割定義域 D ，得下表 x ????????0 ，33 33 ????????33，＋ ∞ f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) ∴ 函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間是????????0 ，33，單調(diào)遞增區(qū)間是????????33，＋ ∞ . 利用導數(shù)證不等式 已知 m， n∈ N＋ ，且 1mn. 求證： (1＋ m)n(1＋ n)m. [分析 ] 由題目可獲取以下主要信息：①已知變量 m， n的取值范圍．②證明與該變量有關(guān)的不等式．由于不等號兩邊的式子形式上具有聯(lián)系，解答本題可考慮利用函數(shù)的性質(zhì)處理． [ 證明 ] ∵ 1 m n ， m ， n ∈ N ＋ ， ∴ 2 ≤ m n ， (1 ＋ m )n( 1 ＋ n )m?ln ? 1 ＋ m ?mln ? 1 ＋ n ?n， ∴ 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ln ? 1 ＋ x ?x( x ≥ 2) ， 得 f ′ ( x ) ＝x1 ＋ x－ ln ? 1 ＋ x ?x2 . 由 x ≥ 2 得 0x1 ＋ x1 ， l n ( 1 ＋ x ) ≥ l n 3 1 . ∴ f ′ ( x ) 0 ， f ( x ) 為減函數(shù)． 又 2 ≤ m n ， ∴l(xiāng)n ? 1 ＋ m ?mln ? 1 ＋ n ?n， ∴ (1 ＋ m )n(1 ＋ n )m. [ 方法總結(jié) ] 若證明不等式 f ( x ) g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以轉(zhuǎn)化為證明 f ( x ) － g ( x ) 0 . 令 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，如果 F ′ ( x ) 0 ，則F ( x ) 在 ( a ， b ) 上是增函數(shù)；若 f ( a ) － g ( a ) ≥ 0 ，由增函數(shù)的定義可知，當 x ∈ ( a ， b ) 時， f ( x ) － g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) ． 合理構(gòu)造函數(shù)是基礎(chǔ)，研究單調(diào)性是關(guān)鍵． 當 x 0 時，證明不等式 l n ( x ＋ 1 ) x － 12 x 2 . [ 證明 ] 設(shè) f ( x ) ＝ l n ( x ＋ 1) － x ＋12x2， 則 f ′ ( x ) ＝11 ＋ x－ 1 ＋ x ＝x21 ＋ x. 當 x ∈ ( － 1 ，＋ ∞ ) 時， f ′ ( x ) 0 ， ∴ f ( x ) 在 ( － 1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)． 于是當 x 0 時， f ( x ) f ( 0 ) ＝ 0 ， ∴ 當 x 0 時，不等式 l n ( x ＋ 1 ) x －12x2成立 . 求參數(shù)的取值范圍 已知 a 為實數(shù)， f ( x ) ＝ ( x 2 － 4 ) ( x － a ) ．若 f ( x ) 在 ( －∞ ，－ 2] 和 [2 ，＋ ∞ ) 上都是遞增的，求 a 的取值范圍． [ 分析 ] 已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍常采用兩種方法來求解： ① 利用導函數(shù)的性質(zhì)； ② 分離參數(shù)． [ 解析 ] ( 方法一 ) 由原式得 f ( x ) ＝ x3－ ax2－ 4 x ＋ 4 a ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4. 不難知道 f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 ax － 4 的圖象為開口向上且過點 (0 ，－ 4) 的拋物線，由條件得????? f ′ ? － 2 ? ≥ 0 ，f ′ ?
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