人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時(shí)曲邊梯形面積與定積分(參考版)
2024-11-21 20:10本頁面
【正文】 π1n＝ 1 ＋32＋ 1 ＋14＝154. [ 方法總結(jié) ] ( 1 ) 曲邊梯形不是我們常見的規(guī)則四邊形，所以不能直接用已有的公式求其面積，可以將它分割成許多小的曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形用相應(yīng)的小矩形近似代替，對(duì)這些面積近似求和，就得到了梯形面積的近似值，當(dāng)分割無限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積． ( 2 ) 在求和時(shí)，可先提取1n，再將和式進(jìn)行化簡(jiǎn)處理，求得S 的值． 將本例改為 “ 求由 x＝ 0， x＝ 2， y＝ 0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積 ” ． [ 解析 ] 將 [ 0 , 2 ] 平均分成 n 等份，每份2n，第 i個(gè)小曲邊梯形的面積 Si＝2nn ? n － 1 ?2＋ 3 n 1n. 所有這些小矩形的面積和 ( 圖中陰影部分面積 ) Sn＝ ?i ＝ 0n － 1 ????????n ＋ in31n，????????n ＋ 2n3 222＝ 2 π . 課堂典例探究 利用定積分的定義，求由直線 x＝ 1， x＝ 2， y＝0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積． [分析 ] 將區(qū)間 [1,2]平均分為 n份，將曲邊梯形分成 n部分，用矩形面積近似代替每個(gè)小曲邊梯形的面積，然后求各曲邊梯形面積的和，最后取極限、得結(jié)論． 曲邊梯形面積的求法 [解析 ] 如圖所示 ． 把區(qū)間 [ 1 , 2 ] 等分成 n 個(gè)小區(qū)間????????1 ，n ＋ 1n，????????n ＋ 1n，n ＋ 2n， ? ，????????n ＋ in，n ＋ i＋ 1n， ? ，????????n ＋ ? n － 1 ?n， 2 ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δ x ＝n ＋ i＋ 1n－n ＋ in＝1n，過各分點(diǎn)作 x 軸的垂線，把曲邊梯形 AB C D 分割成 n 個(gè)小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間的左端點(diǎn)的縱坐標(biāo)????????n ＋ in3為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是圖中曲線之下小矩形面積依次為 13b － an； ④ 取極限：????abf ( x )d x ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 1nf ( ξi)en＝ke2n2 [0 ＋ 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ ( n － 1 ) ] ＝ke2n2 Δ x ＝ ?i ＝ 0n － 1k 1n＝1n3 [02＋ 12＋ 22＋ ? ＋ ( n － 1)2] ＝1n3 1n＋ (2n)21n. ( 3 ) 求和 所有這些小矩形的面積和為 Sn＝ 021n，(2n)2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 定積分與微積分基本定理 第 1課時(shí) 曲邊梯形面積與定積分 第一章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的．你看，在我們生活的大自然中，各種植物的葉子千差萬別，但它們具有相同的特點(diǎn)：葉子的邊緣都是曲線形狀，好似兩條曲線相交而成．同樣，花卉的花瓣也是曲線形狀的． 那么，怎樣計(jì)算這種由曲線圍成的圖形的面積呢？ 1到 n的自然數(shù)的平方和等于多少？ 2．函數(shù) f(x)在 x＝ x0處導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 答案： 1 . 12＋ 22＋ ? ＋ n2＝16n ( n ＋ 1 ) ( 2 n ＋ 1) ． 2 ． f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x 一、定積分的實(shí)際背景 1．曲邊梯形的概念 如圖 (1)，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線 y＝f(x)的一段．我們把由直線 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0和曲線 y＝ f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形． 注意： 曲邊梯形的面積并不是一個(gè)孤立的概念 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 有密切的聯(lián)系 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 的主要區(qū)別是前者至少有一邊為曲線段 ， 后者所有
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