人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章23數(shù)學(xué)歸納法(參考版)
2024-11-21 20:10本頁面
【正文】 ? k － 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2＝? k ＋ 1 ?2[ ? k ＋ 1 ? － 1]2. 所以當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，結(jié)論也成立． 根據(jù) ①② 可知，當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式是 an＝n2? n － 1 ?2， ∴ an＝????? 1 ? n ＝ 1 ?n2? n － 1 ?2 ? n ≥ 2 ?. 證明：12 ＋12 2 ＋12 3 ＋ ? ＋12 n － 1＋12 n ＝ 1 －12 n ( 其中 n∈ N ＋ ) ． [ 錯(cuò)解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝ 12 ，右邊＝ 1 －12 ＝12 ，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k＋12k ＋ 1 ＝12 ??????1 －??????12k ＋ 11 －12＝ 1 －12k ＋ 1 . 這就是說，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ， 可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． [ 辨析 ] 從形式上看，會(huì)認(rèn)為以上的證明是正確的，過程甚至是完整無缺的，但實(shí)際上以上的證明卻是錯(cuò)誤的． 錯(cuò)誤的原因在第 (2) 步，它是直接利用等比數(shù)列的求和公式求出了當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，式子12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1 ＋12k ＋12k ＋ 1 的和，而沒有利用 “ 歸納假設(shè) ” ，這是在用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)極易犯的一種錯(cuò)誤，要引以為戒，初學(xué)者一定要引起足夠的重視． [ 正解 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，左邊＝12，右邊＝ 1 －12＝12，等式成立． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，等式成立，即12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k ＝ 1 －12k ，那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12k － 1＋12k＋12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋12k ＋ 1＝ 1 －2 － 12k ＋ 1＝ 1 －12k ＋ 1. 這就是說，當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，等式也成立．根據(jù) (1) 和 (2) ，可知等式對(duì)任何 n ∈ N ＋ 都成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n－ 1n2( n ∈N ＋ ) 時(shí)，由 n ＝ k 遞推到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù) 是 ______ ，增加的式子是 __________________ ． [ 錯(cuò)解 ] 當(dāng) n ＝ k ( k ∈ N ＋ ) 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1；當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k－ 1＋12k ＋ 1－ 1. 所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)是 1 項(xiàng)，增加的式子是12k ＋ 1－ 1. [ 辨析 ] 仔細(xì)觀察 n ＝ k 變?yōu)?n ＝ k ＋ 1 時(shí)有何變化，需認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，特別注意第 n 項(xiàng)并非它的通項(xiàng)．因分母是連續(xù)增大的正整數(shù)，所以12k－ 1的后面一項(xiàng)為12k ，接著的項(xiàng)為12k＋ 1，12k＋ 2，12k＋ 3， ? ，12k ＋ 1－ 1，即 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，左邊＝ 1 ＋12＋13＋ ?＋12k－ 1＋12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，所以增加的式子為12k ＋12k＋ 1＋ ? ＋12k ＋ 1－ 1，因?yàn)?2k ＋ 1－ 1＝12 2k－ 1＝12k＋ ? 2k－ 1 ?，所以增加的項(xiàng)數(shù)為 2k項(xiàng)． [ 正解 ] 2 k 12 k ＋ 12 k ＋ 1 ＋ ? ＋ 12 k ＋ 1 － 1 數(shù)學(xué)歸納法????? 數(shù)學(xué)歸納法定義 ? 了 解 ?數(shù)學(xué)歸納法證明步驟 ? 掌握 ?數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 ? 掌握 ? 。 ak － 1? a2 ? ak － 1＝ ( k － 1)2， a1 a2 a 2 7 k － 1 ，而證法 2 則是通過計(jì)算f ( k ＋ 1) － f ( k ) ，避免了湊的過程． 求證：當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， x n ＋ y n 能被 x ＋ y 整除． [ 證明 ] (1) 顯然，當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，命題成立，即 x1＋ y1能被 x＋ y 整除． (2) 假設(shè)當(dāng) n ＝ 2 k － 1( k ∈ N*) 時(shí)命題成立，即 ( x ＋ y ) 能整除 x2 k－ 1＋ y2 k － 1 則當(dāng) n ＝ 2 k ＋ 1 時(shí)， x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1＝ x2x2 k － 1＋ x2y2 k － 1－ x2y2 k － 1＋ y2y2 k － 1 ＝ x2( x2 k － 1＋ y2 k － 1) － ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∵ x ＋ y 能整除 ( x2 k － 1＋ y2 k － 1) 又 x ＋ y 能整除 ( x ＋ y )( x － y ) y2 k － 1 ∴ ( x ＋ y ) 能整除 ( x2 k ＋ 1＋ y2 k ＋ 1) 由 (1) 、 (2) 可知當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí) xn＋ yn能被 x ＋ y 整除 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 平面內(nèi)有 n 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這 n 條直線把平面分割成12( n2＋ n ＋ 2) 個(gè)區(qū)域． [ 分析 ] 可選用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，關(guān)鍵是考慮： k 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)與 k ＋ 1 條直線將平面分成的部分的塊數(shù)之間的關(guān)系，利用該關(guān)系可以實(shí)施從 假設(shè) n ＝ k 到 n ＝ k＋ 1 時(shí)的證明． [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，一條直線把平面分成兩個(gè)區(qū)域，又12(12＋ 1 ＋ 2) ＝ 2 ， ∴ n ＝ 1 時(shí)
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