人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章14第1課時曲邊梯形面積與定積分(存儲版)
【正文】 個梯形，但有一邊是曲線 y＝f(x)的一段．我們把由直線 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0和曲線 y＝ f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形． 注意： 曲邊梯形的面積并不是一個孤立的概念 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 有密切的聯(lián)系 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 的主要區(qū)別是前者至少有一邊為曲線段 ， 后者所有邊都是直線段 ． 可用 “ 以直代曲 ” 的思想求曲邊梯形的面積 ． 2 ．求曲邊梯形的面積 求曲線 y ＝ x2與 x ＝ 1 ， y ＝ 0 所圍成的區(qū)域的面積． 具體的解題過程可以分為四步： ( 1 ) 分割 如圖 ( 2 ) ，將區(qū)間 [ 0 , 1 ) 等分為 n 個小區(qū)間 [0 ，1n] ， [1n，2n] ， ? ， [i － 1n，in] ， ? ， [n － 1n，nn] ，每個小區(qū)間的長度為 Δ x ＝in－i － 1n＝1n. ( 2 ) 近似代替 過各分點作 x 軸的垂線，把曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形，再分別以小區(qū)間左端點的縱坐標 (i － 1n)2為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是得到曲線下小矩形的面積依次為 021n＝1n3 [02＋ 12＋ 22＋ ? ＋ ( n － 1)2] ＝1n3 222＝ 2 π . 課堂典例探究 利用定積分的定義，求由直線 x＝ 1， x＝ 2， y＝0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積． [分析 ] 將區(qū)間 [1,2]平均分為 n份，將曲邊梯形分成 n部分，用矩形面積近似代替每個小曲邊梯形的面積，然后求各曲邊梯形面積的和，最后取極限、得結(jié)論． 曲邊梯形面積的求法 [解析 ] 如圖所示 ． 把區(qū)間 [ 1 , 2 ] 等分成 n 個小區(qū)間????????1 ，n ＋ 1n，????????n ＋ 1n，n ＋ 2n， ? ，????????n ＋ in，n ＋ i＋ 1n， ? ，????????n ＋ ? n － 1 ?n， 2 ，每個小區(qū)間的長度為 Δ x ＝n ＋ i＋ 1n－n ＋ in＝1n，過各分點作 x 軸的垂線，把曲邊梯形 AB C D 分割成 n 個小曲邊梯形，再分別用小區(qū)間的左端點的縱坐標????????n ＋ in3為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是圖中曲線之下小矩形面積依次為 131n＝ 1 ＋32＋ 1 ＋14＝154. [ 方法總結(jié) ] ( 1 ) 曲邊梯形不是我們常見的規(guī)則四邊形，所以不能直接用已有的公式求其面積，可以將它分割成許多小的曲邊梯形，每個小曲邊梯形用相應(yīng)的小矩形近似代替，對這些面積近似求和，就得到了梯形面積的近似值，當分割無限變細時，這個近似值就無限趨近于所求曲邊梯形的面積． ( 2 ) 在求和時，可先提取1n，再將和式進行化簡處理，求得S 的值． 將本例改為 “ 求由 x＝ 0， x＝ 2， y＝ 0及 y＝ x3圍成的曲邊梯形的面積 ” ． [ 解析 ] 將 [ 0 , 2 ] 平均分成 n 等份，每份2n，第 i個小曲邊梯形的面積 Si＝2nn ? n － 1 ?2＋ 3 n b － an； ④ 取極限：????abf ( x )d x ＝ l i mn → ＋ ∞?i ＝ 1nf ( ξi)1n＋ (2n)21n， (1n)216n ( n － 1 ) ( 2 n － 1) ＝16(1 －16)(2 －1n) ． ( 4 ) 取極限 S ＝ l i mn→ ＋ ∞Sn＝ l i mn→ ＋ ∞ 16(1 －1n)(2 －1n) ＝13 即求曲邊梯形的面積分為四步：分割、近似代替、求和、取極限，即 S ＝ l i mn→∞?i ＝ 0n－1f ( xi)Δ x . 注意： ( 1 ) 分割用 “ 以直代曲 ” 的方法求曲邊梯形的面積時，在分割過程中，分割得越細，近似代替后所求面積的和就越接近曲邊梯形的
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