人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第1課時(shí)曲邊梯形面積與定積分(已修改)
2024-12-03 20:10 本頁(yè)面
【正文】 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一章 定積分與微積分基本定理 第 1課時(shí) 曲邊梯形面積與定積分 第一章 課堂典例探究 2 課 時(shí) 作 業(yè) 3 課前自主預(yù)習(xí) 1 課前自主預(yù)習(xí) 大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的．你看，在我們生活的大自然中，各種植物的葉子千差萬(wàn)別，但它們具有相同的特點(diǎn)：葉子的邊緣都是曲線形狀，好似兩條曲線相交而成．同樣，花卉的花瓣也是曲線形狀的． 那么，怎樣計(jì)算這種由曲線圍成的圖形的面積呢？ 1到 n的自然數(shù)的平方和等于多少？ 2．函數(shù) f(x)在 x＝ x0處導(dǎo)數(shù)的定義是什么？ 答案： 1 . 12＋ 22＋ ? ＋ n2＝16n ( n ＋ 1 ) ( 2 n ＋ 1) ． 2 ． f′ ( x 0 ) ＝ l i mΔ x → 0 f ? x 0 ＋ Δ x ? － f ? x 0 ?Δ x 一、定積分的實(shí)際背景 1．曲邊梯形的概念 如圖 (1)，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線 y＝f(x)的一段．我們把由直線 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0和曲線 y＝ f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形． 注意： 曲邊梯形的面積并不是一個(gè)孤立的概念 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 有密切的聯(lián)系 ， 曲邊梯形與 “ 直邊圖形 ” 的主要區(qū)別是前者至少有一邊為曲線段 ， 后者所有邊都是直線段 ． 可用 “ 以直代曲 ” 的思想求曲邊梯形的面積 ． 2 ．求曲邊梯形的面積 求曲線 y ＝ x2與 x ＝ 1 ， y ＝ 0 所圍成的區(qū)域的面積． 具體的解題過(guò)程可以分為四步： ( 1 ) 分割 如圖 ( 2 ) ，將區(qū)間 [ 0 , 1 ) 等分為 n 個(gè)小區(qū)間 [0 ，1n] ， [1n，2n] ， ? ， [i － 1n，in] ， ? ， [n － 1n，nn] ，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 Δ x ＝in－i － 1n＝1n. ( 2 ) 近似代替 過(guò)各分點(diǎn)作 x 軸的垂線，把曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形，再分別以小區(qū)間左端點(diǎn)的縱坐標(biāo) (i － 1n)2為高， Δ x ＝1n為底作小矩形，于是得到曲線下小矩形的面積依次為 021n， (1n)21n，(2n)21n， ? ， (n － 1n)21n. ( 3 ) 求和 所有這些小矩形的面積和為 Sn＝ 021n＋ (1n)21n＋ (2n)21n＋ ? ＋ (n － 1n)21n＝1n3 [02＋ 12＋ 22＋ ? ＋ ( n － 1)2] ＝1n3 16n ( n － 1 ) ( 2 n － 1) ＝16(1 －16)(2 －1n) ． ( 4 ) 取極限 S ＝ l i mn→ ＋ ∞Sn＝ l i mn→ ＋ ∞ 16(1 －1n)(2 －1n) ＝13 即求曲邊梯形的面積分為四步：分割、近似代替、求和、取極限，即 S ＝ l i mn→∞?i ＝ 0n－1f ( xi)Δ x . 注意： ( 1 ) 分割用 “ 以直代曲 ” 的方法求曲邊梯形的面積時(shí)，在分割過(guò)程中，分割得越細(xì)，近似代替后所求面積的和就越接近曲邊梯形的面積． ( 2 ) 在 “ 近似代替 ” 中，教材在每一個(gè)小區(qū)間 [i － 1n，in] 上取左端點(diǎn)，是為了計(jì)算方便，事實(shí)上，可以取右端點(diǎn)或區(qū)間上的任意點(diǎn)，沒(méi)有統(tǒng) 一的要求．為了運(yùn)算方便，通常取一些特殊點(diǎn)． 在求由 x＝ a， x＝ b(ab)， y＝ 0及 y＝ f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形的面積 S時(shí)，在區(qū)間 [a， b]上等間隔地插入 n－ 1個(gè)分點(diǎn)，分別過(guò)這些分點(diǎn)作 x軸的垂線，把曲邊梯形分成 n個(gè)小曲邊梯形，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) ① n個(gè)小曲邊梯形的面積和等于 S； ② n個(gè)小曲邊梯形的面積和小于 S； ③ n個(gè)小曲邊梯形的面積和大于 S； ④ n個(gè)小曲邊梯形的面積和與 S之間的大小關(guān)系不確定 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [答案 ] A [解析 ] 只有 ① 正確．故選 A. 3 ．求變力做功 如果物體在常力作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，且力與位移同向，
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